【題目】尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1所示,已知AF,BE是△ABC的中線,且AF⊥BE,垂足為P,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
求證:a2+b2=5c2
該同學(xué)仔細(xì)分析后,得到如下解題思路:
先連接EF,利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA,故 ,設(shè)PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分別表示出來(lái),再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理計(jì)算,消去m,n即可得證
(1)請(qǐng)你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫(xiě)出證明過(guò)程.
(2)利用題中的結(jié)論,解答下列問(wèn)題:在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中,O為對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點(diǎn),連接BE,CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M,BM,CM分別交AD于點(diǎn)G,H,如圖2所示,求MG2+MH2的值.
【答案】
(1)
解:設(shè)PF=m,PE=n,連結(jié)EF,如圖1,
∵AF,BE是△ABC的中線,
∴EF為△ABC的中位線,AE= b,BF= a,
∴EF∥AB,EF= c,
∴△EFP∽△BPA,
∴ ,即 = ,
∴PB=2n,PA=2m,
在Rt△AEP中,∵PE2+PA2=AE2,
∴n2+4m2= b2①,
在Rt△AEP中,∵PF2+PB2=BF2,
∴m2+4n2= a2②,
①+②得5(n2+m2)= (a2+b2),
在Rt△EFP中,∵PE2+PF2=EF2,
∴n2+m2=EF2= c2,
∴5 c2= (a2+b2),
∴a2+b2=5c2;
(2)
解:∵四邊形ABCD為菱形,
∴BD⊥AC,
∵E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點(diǎn),
由(1)的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45,
∵AG∥BC,
∴△AEG∽△CEB,
∴ = ,
∴AG=1,
同理可得DH=1,
∴GH=1,
∴GH∥BC,
∴ = ,
∴MB=3GM,MC=3MH,
∴9MG2+9MH2=45,
∴MG2+MH2=5.
【解析】(1)設(shè)PF=m,PE=n,連結(jié)EF,如圖1,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB,EF= c,則可判斷△EFP∽△BPA,利用相似比得到PB=2n,PA=2m,接著根據(jù)勾股定理得到n2+4m2= b2 , m2+4n2= a2 , 則5(n2+m2)= (a2+b2),而n2+m2=EF2= c2 , 所以a2+b2=5c2;(2)利用(1)的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45,再利用△AEG∽△CEB可計(jì)算出AG=1,同理可得DH=1,則GH=1,然后利用GH∥BC,根據(jù)平行線分線段長(zhǎng)比例定理得到MB=3GM,MC=3MH,然后等量代換后可得MG2+MH2=5.本題考查了相似三角形的判定:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.也考查了三角形中位線性質(zhì)和菱形的性質(zhì).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形,則第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是( 。
A.2n+1
B.n2﹣1
C.n2+2n
D.5n﹣2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn),CA,CD是⊙O的切線,A,D為切點(diǎn),連接BD,AD.若∠ACD=30°,則∠DBA的大小是( 。
A.15°
B.30°
C.60°
D.75°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為保障我國(guó)海外維和部隊(duì)官兵的生活,現(xiàn)需通過(guò)A港口、B港口分別運(yùn)送100噸和50噸生活物資.已知該物資在甲倉(cāng)庫(kù)存有80噸,乙倉(cāng)庫(kù)存有70噸,若從甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)運(yùn)送物資到港口的費(fèi)用(元/噸)如表所示:
港口 | 運(yùn)費(fèi)(元/臺(tái)) | |
甲庫(kù) | 乙?guī)?/span> | |
A港 | 14 | 20 |
B港 | 10 | 8 |
(1)設(shè)從甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)送到A港口的物資為x噸,求總運(yùn)費(fèi)y(元)與x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍;
(2)求出最低費(fèi)用,并說(shuō)明費(fèi)用最低時(shí)的調(diào)配方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以3cm/s的速度沿著邊BC—CD—DA運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng),另一動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),以1cm/s的速度沿著邊BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),△AMN的面積為y(cm2),則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為測(cè)量學(xué)校圍墻外直立電線桿AB的高度,小亮在操場(chǎng)上點(diǎn)C處直立高3m的竹竿CD,然后退到點(diǎn)E處,此時(shí)恰好看到竹竿頂端D與電線桿頂端B重合;小亮又在點(diǎn)C1處直立高3m的竹竿C1D1 , 然后退到點(diǎn)E1處,此時(shí)恰好看到竹竿頂端D1與電線桿頂端B重合.小亮的眼睛離地面高度EF=1.5m,量得CE=2m,EC1=6m,C1E1=3m.
(1)△FDM∽△ , △F1D1N∽△
(2)求電線桿AB的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知第一象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)y= 圖象的一個(gè)分支,第二象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)y=﹣ 圖象的一個(gè)分支,在x軸的上方有一條平行于x軸的直線l與它們分別交于點(diǎn)A、B,過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線,垂足分別為C、D.若四邊形ABCD的周長(zhǎng)為8且AB<AC,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .
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