Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中點，點，軸，點是直線下方拋物線上的動點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點且與軸平行的直線與直線、分別交與點、，當(dāng)四邊形的面積最大時，求點的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點為拋物線的頂點時，在直線上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似，若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在， ，

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；

（2）設(shè)點P（m，），表示出PE＝，再用S四邊形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC×PE，建立函數(shù)關(guān)系式，求出最值即可；

（3）先判斷出PF＝CF，再得到∠PCA＝∠EAC，以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況計算即可．

（1）∵點，在拋物線上，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為，

（2）∵AC∥x軸，A（0，3）

∴＝3，

∴x1＝6，x2＝0，

∴點C的坐標(biāo)（8，3），

∵點，，

求得直線AB的解析式為y＝x＋3，

設(shè)點P（m，）∴E（m，m＋3）

∴PE＝m＋3（）＝，

∵AC⊥EP，AC＝8，

∴S四邊形AECP

＝S△AEC＋S△APC

＝AC×EF＋AC×PF

＝AC×（EF＋PF）

＝AC×PE

＝×8×（）

＝m212m

＝（m＋6）2＋36，

∵8＜m＜0

∴當(dāng)m＝6時，四邊形AECP的面積的最大，此時點P（6，0）；

（3）∵＝，

∴P（4，1），

∴PF＝yFyP＝4，CF＝xFxC＝4，

∴PF＝CF，

∴∠PCF＝45°

同理可得：∠EAF＝45°，

∴∠PCF＝∠EAF，

∴在直線AC上存在滿足條件的Q，

設(shè)Q（t，3）且AB＝=12，AC＝8，CP＝，

∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，

①當(dāng)△CPQ∽△ABC時，

∴，

∴，

∴t＝或t＝（不符合題意，舍）

∴Q（，3）

②當(dāng)△CQP∽△ABC時，

∴，

∴，

∴t＝4或t＝20（不符合題意，舍）

∴Q（4，3）

綜上，存在點 .