Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設銳角∠DOC=α，將△DOC按逆時針方向旋轉得到△D′OC′（0°＜旋轉角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點M．

（1）當四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想AC′與BD′的數(shù)量關系以及∠AMB與α的大小關系，并證明你的猜想；

（2）當四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，已知AC=BD，請猜想此時AC′與BD′的數(shù)量關系以及∠AMB與α的大小關系，并證明你的猜想；

（3）當四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，AD∥BC，此時（1）AC′與BD′的數(shù)量關系是否成立？∠AMB與α的大小關系是否成立？不必證明，直接寫出結論．

Answer 1

【答案】(1) AC′=BD′，∠AMB=α，理由見解析；（2）AC′=kBD′，∠AMB=α，理由見解析；（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質及角之間的關系證明△BOD′≌△AOC′，得出對應邊對應角相等，推理即可得出結論；
（2）先進行假設，然后根據(jù)平行四邊形的性質及相似三角形比例關系即可得出答案；
（3）易證△BOD′≌△C′OA，則AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，從而得出∠AMB≠α．

解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α，

證明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，

∴OA=OC=OB=OD，

又∵OD=OD′，OC=OC′，

∴OB=OD′=OA=OC′，

∵∠D′OD=∠C′OC，

∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，

∴∠BOD′=∠AOC′，

∴△BOD′≌△AOC′，

∴BD′=AC′，

∴∠OBD′=∠OAC′，

設BD′與OA相交于點N，

∴∠BNO=∠ANM，

∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，

即∠AMB=∠AOB=∠COD=α，

綜上所述，BD′=AC′，∠AMB=α，

（2）AC′=kBD′，∠AMB=α，

證明：在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，

又∵OD=OD′，OC=OC′，

∴OB：OA=OD′：C′，

∵∠D′OD=∠C′OC，

∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，

∴∠BOD′=∠AOC′，

∴△BOD′∽△AOC′，

∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，

∵AC=kBD，

∴AC′=kBD′，

∵△BOD′∽△AOC′，

設BD′與OA相交于點N，Z+X+X+K]

∴∠BNO=∠ANM，

∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，

綜上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α，

（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立．