Question

（2012•朝陽二模）如圖，拋物線y=

1

2

x²+mx+n過原點(diǎn)O，與x軸交于A，點(diǎn)D（4，2）在該拋物線上，過點(diǎn)D作CD∥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)B，連接CO、AD．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）將△BCO繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后 再沿x軸對(duì)折得到△OEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說明理由；
（3）設(shè)過點(diǎn)E的直線交OA于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q．問是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形AOCD的面積為1：3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將O（0，0），D（4，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=

1

2

x²+mx+n，列方程組求m、n的值，確定拋物線解析式，由CD∥x軸，將y=2代入拋物線解析式，可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，求EF，OF，確定E點(diǎn)坐標(biāo)，把E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線解析式求y的值，判斷E點(diǎn)中拋物線上；
（3）設(shè)P（a，0），S_梯形CQPO=S₁，S_梯形ADQP=S₂，根據(jù)直線PQ分梯形AOCD的面積為1：3兩部分，分兩種情況：①S₁：S₂=1：3，②S₁：S₂=3：1，根據(jù)S₁與的S_梯形AOCD關(guān)系，列方程求a的值．

解答：解：（1）依題意，得

n=0 8+4m+n=2

，解得

m=- 3 2 n=0

，
所以，拋物線解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x，把y=2代入，得x₁=4，x₂=-1，
所以，C（-1，2）；

（2）點(diǎn)E落在拋物線上．理由如下：
∵BC=1，OB=2，∠OBC=90°，
由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的性質(zhì)知：EF=1，OF=2，∠OFE=90°，
∴點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1），
當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

×4-

3

2

×2=-1，∴點(diǎn)E落在拋物線上；

（3）存在點(diǎn)P（a，0）．如圖記S_梯形CQPO=S₁，S_梯形ADQP=S₂，
S_梯形AOCD=

1

2

（AO+CD）×2=3+5=8，
當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)F（2，0）時(shí)，易求S₁=5，S₂=3，此時(shí)S₁：S₂不符合條件，故a≠3．
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），將E（2，-1），P（a，0）代入，
得

2k+b=-1 ak+b=0

，解得

k= 1 a-2 b=- a a-2

，
∴y=

1

a-2

x-

a

a-2

，
由y=2得x=3a-4，∴Q（3a-4，2）
∴CQ=（3a-4）-（-1）=3a-3，PO=a，
S₁=

1

2

（3a-3+a）×2=4a-3，
下面分兩種情形：①當(dāng)S₁：S₂=1：3時(shí)，S₁=

1

4

S_梯形AOCD=

1

4

×8=2；
∴4a-3=2，解得a=

5

4

；
②當(dāng)S₁：S₂=3：1時(shí)，S₁=

3

4

S_梯形AOCD=

3

4

×8=6；
∴4a-3=6，解得a=

9

4

；
綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

4

，0）或（

9

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，確定A、B、C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定E點(diǎn)坐標(biāo)，通過求直線PQ解析式確定Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示直線PQ分得兩部分的面積，利用列方程的方法求解．