【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B(5,0),另一個交點為A,且與y軸交于點C(0,5).

(1)求直線BC與拋物線的解析式;

(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點,過點M作MNy軸交直線BC于點N,求MN的最大值;

(3)若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點,以BC為邊作平行四邊形CBPQ,當平行四邊形CBPQ的面積為30時,求點P的坐標.

【答案】(1)直線BC的解析式為y=﹣x+5.拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣6x+5;(2);(3)點P的坐標為(2,﹣3),(3,﹣4).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式,

(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案;

(3)根據(jù)平行四邊形的面積,可得BD的長,根據(jù)等腰直角三角形,可得E點坐標,根據(jù)待定系數(shù)法,可得PQ的解析式,根據(jù)解方程組,可得答案.

試題解析: (1)設直線BC的解析式為y=kx+m,將B(5,0),C(0,5)代入,得,解得

直線BC的解析式為y=﹣x+5.

將B(5,0),C(0,5)代入y=x2+bx+c,得 ,解得

拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣6x+5;

(2)點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點,

設M(m,m2﹣6m+5).

點N是直線BC上與點M橫坐標相同的點,

N(m,m+5).

當點M在拋物線在x軸下方時,N的縱坐標總大于M的縱坐標.

MN=﹣m+5﹣(m2﹣6m+5)=﹣m2+5m=﹣(m﹣2+

MN的最大值是

(3)如圖

設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD,則BCBD,可求BC=5,

由平行四邊形CBPQ的面積為30可得,BC×BD=30,從而BD=3

設直線PQ交x軸于E點,

BCBD,OBC=45°,

∴∠EBD=45°,EBD為等腰直角三角形,BE=BD=6.

B(5,0),

E(﹣1,0).

設直線PQ的解析式為y=﹣x+s,將E點坐標代入函數(shù)解析式,得

0=﹣(﹣1)+s,

解得s=﹣1,

從而直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1.

聯(lián)立直線與拋物線,得,

解得,,

故點P的坐標為(2,﹣3),(3,﹣4).

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(1)a= , b= , c=
(2)若將數(shù)軸折疊,使得A點與C點重合,則點B與數(shù)表示的點重合;
(3)點A,B,C開始在數(shù)軸上運動,若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動,假設t秒鐘過后,若點A與點B之間的距離表示為AB,點A與點C之間的距離表示為AC,點B與點C之間的距離表示為BC.則AB= , AC= , BC= . (用含t的代數(shù)式表示)
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