【題目】如圖,在矩形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),F(xiàn)為BE上的一點(diǎn),連結(jié)CF并延長交AB于點(diǎn)M,MNCM交射線AD于點(diǎn)N.

(1)當(dāng)F為BE中點(diǎn)時(shí),求證:AM=CE;

(2)若 =2,求的值;

(3)若=n,當(dāng)n為何值時(shí),MNBE?

【答案】(1)詳見解析;(2)3;(3)n=4.

【解析】

試題分析:(1)如圖1,易證BMF≌△ECF,則有BM=EC,然后根據(jù)E為CD的中點(diǎn)及AB=DC就可得到AM=EC;(2)如圖2,設(shè)MB=a,易證ECF∽△BMF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得EC=2a,由此可得AB=4a,AM=3a,BC=AD=2a.易證AMN∽△BCM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到AN= a,從而可得ND=AD﹣AN=a,就可求出的值;(3)如圖3,設(shè)MB=a,同(2)可得BC=2a,CE=na.由MNBE,MNMC可得EFC=HMC=90°,從而可證到MBC∽△BCE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出n的值.

試題解析:(1)當(dāng)F為BE中點(diǎn)時(shí),如圖1,

則有BF=EF.

四邊形ABCD是矩形,

AB=DC,ABDC,

∴∠MBF=CEF,BMF=ECF.

BMF和ECF中,

,

∴△BMF≌△ECF,

BM=EC.

E為CD的中點(diǎn),

EC=DC,

BM=EC=DC=AB,

AM=BM=EC;

(2)如圖2,

設(shè)MB=a,

四邊形ABCD是矩形,

AD=BC,AB=DC,A=ABC=BCD=90°,ABDC,

∴△ECF∽△BMF,

=2,

EC=2a

AB=CD=2CE=4a,AM=AB﹣MB=3a

=2,

BC=AD=2a

MNMC,

∴∠CMN=90°,

∴∠AMN+BMC=90°.

∵∠A=90°,

∴∠ANM+AMN=90°,

∴∠BMC=ANM,

∴△AMN∽△BCM,

,

AN=a,ND=AD﹣AN=2a﹣a=a,

=3;

(3)當(dāng)=n時(shí),如圖3,

設(shè)MB=a,同(2)可得BC=2a,CE=na.

MNBE,MNMC,

∴∠EFC=HMC=90°,

∴∠FCB+FBC=90°.

∵∠MBC=90°,

∴∠BMC+FCB=90°,

∴∠BMC=FBC.

∵∠MBC=BCE=90°,

∴△MBC∽△BCE,

,

,

n=4.

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100

200

300

400

500

正面朝上的頻數(shù)

53

98

156

202

249

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