【題目】如圖,在菱形ABCD中,點P在對角線AC上,且PA=PD,⊙O是△PAD的外接圓.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若AC=8,tan∠BAC=,求⊙O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,由PA=PD得弧AP=弧DP,根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD,AE=DE,則∠1+∠OPA=90°,而∠OAP=∠OPA,所以∠1+∠OAP=90°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2,所以∠2+∠OAP=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切;
(2)連結(jié)BD,交AC于點F,根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分,則AF=4,tan∠DAC=,得到DF=2,根據(jù)勾股定理得到AD==2,求得AE=,設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣,OA=R,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,如圖,
∵PA=PD,∴弧AP=弧DP,∴OP⊥AD,AE=DE,∴∠1+∠OPA=90°.
∵OP=OA,∴∠OAP=∠OPA,∴∠1+∠OAP=90°.
∵四邊形ABCD為菱形,∴∠1=∠2,∴∠2+∠OAP=90°,∴OA⊥AB,
∴直線AB與⊙O相切;
(2)連結(jié)BD,交AC于點F,如圖,
∵四邊形ABCD為菱形,∴DB與AC互相垂直平分.
∵AC=8,tan∠BAC=,∴AF=4,tan∠DAC==,
∴DF=2,∴AD==2,∴AE=.
在Rt△PAE中,tan∠1==,∴PE=.
設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣,OA=R.
在Rt△OAE中,∵OA2=OE2+AE2,∴R2=(R﹣)2+()2,
∴R=,即⊙O的半徑為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠A=60°,以點B為圓心的圓與AD、DC相切,與AB、CB的延長線分別相交于點E,F(xiàn),則圖中陰影部分的面積為________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某校園的學子餐廳把密碼做成了數(shù)學題,小亮在餐廳就餐時,思索了一會,輸入密碼,順利地連接到了學子餐廳的網(wǎng)絡(luò).
(1)如果是2,那么他輸入的密碼是___________.
(2)若他輸入的密碼是4235,最后兩位被隱藏了,那么被隱藏的兩位數(shù)是_____.
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【題目】問題提出
(1)如圖①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,則△ABC的外接圓半徑R的值為 .
問題探究
(2)如圖②,⊙O的半徑為13,弦AB=24,M是AB的中點,P是⊙O上一動點,求PM的最大值.
問題解決
(3)如圖③所示,AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中,AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,BC所對的圓心角為60°.新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點P,在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F.也就是,分別在、線段AB和AC上選取點P、E、F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸,因此,要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和FP.為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短,試求PE+EF+FP的最小值(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計).
圖① 圖② 圖③
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【題目】列方程解應(yīng)用題:
商店經(jīng)營有A、B兩種品牌的筆,A種筆的單價比B種筆的單價貴2元,若花140買A種筆,120元買B種筆,則A種筆反而比B種筆少一支.
(1)求A、B兩種品牌的筆每支各多少元.
(2)某單位準備一次性購買兩種筆共200支,預(yù)計費用不超過1800元.并且規(guī)定,A種筆的數(shù)量不能少于B種筆的.問如何購買,單位花錢最少?最少花多少錢?
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【題目】當涂大青山有較為豐富的毛竹資源,某企業(yè)已收購毛竹110噸,根據(jù)市場信息,將毛竹直接銷售,每噸可獲利100元;如果對毛竹進行粗加工,每天可加工8噸,每噸可獲利1000元;如果進行精加工,每天可加工噸,每噸可獲利5000元,由于受條件限制,在同一天中只能采用一種方式加工,并且必須在一個月(30天)內(nèi)將這批毛竹全部銷售、為此研究了兩種方案:
(1)方案一:將收購毛竹全部粗加工后銷售,則可獲利________元;
方案二:30天時間都進行精加工,未來得及加工的毛竹,在市場上直接銷售,則可獲利________元.
(2)是否存在第三種方案,將部分毛竹精加工,其余毛竹粗加工,并且恰好在30天內(nèi)完成?若存在,求銷售后所獲利潤;若不存在,請說明理由.
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【題目】某九年一貫制學校在六年級和九年級的男生中分別隨機抽取40名學生測量他們的身高,將數(shù)據(jù)分組整理后,繪制的頻數(shù)分布直方圖如下:其中兩條縱向虛線上端的數(shù)值分別是每個年級抽出的40名男生身高的平均數(shù),根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,下列結(jié)論不合理的是( )
A. 六年級40名男生身高的中位數(shù)在第153~158cm組
B. 可以估計該校九年級男生的平均身高比六年級的平均身高高出18.6cm
C. 九年級40名男生身高的中位數(shù)在第168~173cm組
D. 可以估計該校九年級身高不低于158cm但低于163cm的男生所占的比例大約是5%
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,BD是中線,延長BC至E,使CE=CD.
(1)求證:DB=DE;
(2)過點D作DF垂直BE,垂足為F,若CF=3,求△ABC的周長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,銳角△ABC中,BD⊥AC于點D,CE⊥AB于點E,BD與CE相交于點O,且OB=OC
(1)求證:△ABC是等腰三角形;
(2)判定點O是否在∠BAC的角平分線上,說明理由
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