Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，點(diǎn)E、F分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)E沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；點(diǎn)F沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為5cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s）．

（1）求x為何值時(shí)，△EFC和△ACD相似；

（2）是否存在某一時(shí)刻，使得△EFD被 AD分得的兩部分面積之比為3:5，若存在，求出x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若以EF為直徑的圓與線段AC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出相應(yīng)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）

（2）不存在.

（3）

【解析】分析：（1）點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BD上時(shí)，①當(dāng)時(shí)，△CFE∽△CDA，②當(dāng)時(shí)，分別列出方程求解即可；

（2）不存在．分兩種情形說(shuō)明：如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BD上時(shí)，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．只要證明EN=FN即可解決問(wèn)題；

（3）分四種情形①如圖3中，當(dāng)以EF為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，⊙O與線段AC有兩個(gè)交點(diǎn)，連接AE，則∠EAF=90°．②如圖4中，當(dāng)⊙O與AC相切時(shí)，滿足條件，此時(shí)t=．③如圖5中，當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，④如圖6中，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，連接AE，則∠EAF=90°．分別求解即可.

詳解：（1）如圖1中，

點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BD上時(shí)，①當(dāng)時(shí)，△CFE∽△CDA，

∴=，

∴t=，

②當(dāng)時(shí)，即=，

∴t=2，

當(dāng)點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)E在CD上時(shí)，不存在△EFC和△ACD相似，

綜上所述，t=s或2s時(shí)，△EFC和△ACD相似．

（2）不存在．

理由：如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BD上時(shí)，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．

∵CF=5t．BE=4t，

∴CH=CFcosC=4t，

∴BE=CH，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴DE=DH，

∵DN∥FH，

∴=1，

∴EN=FN，

∴S△END=S△FND，

∴△EFD被 AD分得的兩部分面積相等，

同法可證當(dāng)點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)E在CD上時(shí)，△EFD被 AD分得的兩部分面積相等，

∴不存在某一時(shí)刻，使得△EFD被 AD分得的兩部分面積之比為3：5．

（3）①如圖3中，當(dāng)以EF為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，⊙O與線段AC有兩個(gè)交點(diǎn)，連接AE，則∠EAF=90°．

由=cosC=，可得=，

∴t=，

∴0≤t＜時(shí)，⊙O與線段AC只有一個(gè)交點(diǎn)．

②如圖4中，當(dāng)⊙O與AC相切時(shí)，滿足條件，此時(shí)t=．

③如圖5中，當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，cosB=，即=，解得t=．

④如圖6中，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，連接AE，則∠EAF=90°．

由cosB==，即=，t=，

∴＜t≤4時(shí)，⊙O與線段AC只有一個(gè)交點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)⊙O與線段AC只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0≤t＜或或或＜t≤4．