【題目】(本題滿分10分)在ABCD中,AC、BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF、GH,分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn),連結(jié)EG、GF、FH、HE.
(1)如圖①,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由;
(2)如圖②,當(dāng)EF⊥GH時(shí),四邊形EGFH的形狀是 ;
(3)如圖③,在(2)的條件下,若AC=BD,四邊形EGFH的形狀是 ;
(4)如圖④,在(3)的條件下,若AC⊥BD,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由.
【答案】(1)平行四邊形(2)菱形(3)菱形(4)正方形
【解析】
試題(1)由于平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心,即可得出OE=OF、OG=OH;根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷出EGFH的形狀;
(2)當(dāng)EF⊥GH時(shí),平行四邊形EGFH的對(duì)角線互相垂直平分,故四邊形EGFH是菱形;
(3)當(dāng)AC=BD時(shí),對(duì)四邊形EGFH的形狀不會(huì)產(chǎn)生影響,故結(jié)論同(2);
(4)當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí),四邊形ABCD是正方形,則對(duì)角線相等且互相垂直平分;
可通過證△BOG≌△COF,得OG=OF,從而證得菱形的對(duì)角線相等,根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形即可判斷出EGFH的形狀.
試題解析:解:(1)四邊形EGFH是平行四邊形.
證明:∵ ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O.
∴點(diǎn)O是ABCD的對(duì)稱中心.
∴EO=FO,GO=HO.
∴四邊形EGFH是平行四邊形.
(2)菱形.
(3)菱形.
(4)四邊形EGFH是正方形.
∵AC=BD,
∴ABCD是矩形.
又∵AC⊥BD,
∴ABCD是菱形.
∴ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°.OB=OC.
∵EF⊥GH ,
∴∠GOF=90°.
∴∠BOG=∠COF.
∴△BOG≌△COF.
∴OG=OF,
∴GH=EF.
由(1)知四邊形EGFH是平行四邊形,
又∵EF⊥GH,EF=GH.
∴四邊形EGFH是正方形.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為2,BE=CE,MN=1,線段MN的兩端點(diǎn)在CD、AD上滑動(dòng),當(dāng)DM為( )時(shí),△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似.
A.
B.
C. 或
D. 或
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【題目】如圖,DE是△ABC邊AB的垂直平分線,分別交AB、BC于D、E。AE平分∠BAC. 設(shè)∠B = x(單位:度),∠C = y(單位:度).
(1)求y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)請(qǐng)討論當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí),∠B為多少度?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā),沿著箭頭所示方向,每次移動(dòng)一個(gè)單位,依次得到點(diǎn)P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,1),P5(2,1),P6(2,0)...,則點(diǎn)P2017的坐標(biāo)是( )
A.(672,0)B.(672,1)C.(673,1)D.(673,0)
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【題目】如圖,大樓AN上懸掛一條幅AB,小穎在坡面D處測得條幅頂部A的仰角為30°,沿坡面向下走到坡腳E處,然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處,測得條幅的底部B的仰角為45°,此時(shí)小穎距大樓底端N處20米.已知坡面DE=20米,山坡的坡度i=1: (即tan∠DEM=1: ),且D,M,E,C,N,B,A在同一平面內(nèi),E,C,N在同一條直線上,求條幅的長度(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù): ≈1.73, ≈1.41)
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【題目】探索研究:已知:△ABC和△CDE都是等邊三角形.
(1)如圖1,若點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí),我們可以得到結(jié)論:線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系為: ,線段AD與BE所成的銳角度數(shù)為 °;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A、C、E不在一條直線上時(shí),請(qǐng)證明(1)中的結(jié)論仍然成立;
靈活運(yùn)用:
如圖3,某廣場是一個(gè)四邊形區(qū)域ABCD,現(xiàn)測得:AB=60m,BC=80m,且∠ABC=30°,∠DAC=∠DCA=60°,試求水池兩旁B、D兩點(diǎn)之間的距離.
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【題目】郵遞員騎摩托車從郵局出發(fā),先向南騎行2km到達(dá)A村,繼續(xù)向南騎行3km到達(dá)B 村,然后向北騎行9km到C村,最后回到郵局.
(1)以郵局為原點(diǎn),以向北方向?yàn)檎较,?/span>1個(gè)單位長度表示1km,請(qǐng)你在數(shù)軸上表示出A、B、C三個(gè)村莊的位置;
(2)C村離A村有多遠(yuǎn)?
(3)若摩托車每100km耗油3升,這趟路共耗油多少升?
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【題目】某商店進(jìn)行店慶活動(dòng),決定購進(jìn)甲、乙兩種紀(jì)念品,若購進(jìn)甲種紀(jì)念品1件,乙種紀(jì)念品2件,需要160元;購進(jìn)甲種紀(jì)念品2件,乙種紀(jì)念品3件,需要280元.
(1)購進(jìn)甲乙兩種紀(jì)念品每件各需要多少元?
(2)該商場決定購進(jìn)甲乙兩種紀(jì)念品100件,并且考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn),用于購買這些紀(jì)念品的資金不少于6300元,同時(shí)又不能超過6430元,則該商場共有幾種進(jìn)貨方案?
(3)若銷售每件甲種紀(jì)念品可獲利30元,每件乙種紀(jì)念品可獲利12元,在第(2)問中的各種進(jìn)貨方案中,哪種方案獲利最大?最大利潤是多少元?
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