Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，點Q的坐標為：Q（1，3）或（，）；（3）PN＝﹣（m﹣2）2+，當m＝2時，PN的最大值為．

【解析】

（1）由二次函數交點式表達式，即可求解；

（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三種情況，利用方程或方程組求解即可得到答案；

（3）利用等腰直角三角形的性質得到：PN=PQsin∠PQN=即可求解．

解：（1） 拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，

設

即：﹣12a＝4，解得：

則拋物線的表達式為

（2）存在，理由：

點A、B、C的坐標分別為（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），

則AC＝5，AB＝7，BC＝，∠OBC＝∠OCB＝45°，

將點B、C的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，

同理可得直線AC的表達式為：，

①當AC＝AQ時，如圖1，

則AC＝AQ＝5，

設：QM＝MB＝n，則AM＝7﹣n，

由勾股定理得：

解得：n＝3或4（舍去4），

故點Q（1，3）；

②當AC＝CQ時，如圖1，

CQ＝5，則BQ＝BC﹣CQ＝

則QM＝MB＝，

故點Q（，）；

③當CQ＝AQ時，則在的垂直平分線上，

設直線AC的中點為K（，2），

過點 與CA垂直直線的表達式中的k值為，

直線的表達式為： ②，

聯立①②并解得：（舍去）；

故點Q的坐標為：Q（1，3）或（，）；

（3）設點，則點Q（m，﹣m+4），

∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，

PN＝PQsin∠PQN＝

∵

∴PN有最大值，

當m＝2時，PN的最大值為：．