Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx-3a-5經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，5)

（1）求出a和b之間的數(shù)量關(guān)系．

（2）已知拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，直線AD與y軸交于(0，-7)

①求出此時(shí)拋物線的解析式；

②點(diǎn)B為y軸上任意一點(diǎn)且在直線y=5和直線y=-13之間，連接BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC，連接AB、AC，將AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BH．截取BC的中點(diǎn)F和DH的中點(diǎn)G．當(dāng)點(diǎn)D、點(diǎn)H、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，分別求出點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x2+4x-11，②G1(，)，F1(，)，G2(，)，F2(，)

【解析】

（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx-3a-5即可得到a和b之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）①求出直線AD的解析式，與拋物線y=ax2+bx-3a-5聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理求出a，b，即可求出解析式；

②作AI⊥y軸于點(diǎn)I，HJ⊥y軸于點(diǎn)J.設(shè)B（0，t），根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)表示粗H、D、C坐標(biāo)，應(yīng)含t式子表示直線AD的解析式，根據(jù)D、H、C三點(diǎn)共線，把點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出，，分兩類(lèi)討論，分別求出G、F坐標(biāo)。

解：（1）把A（2,5）代入y=ax2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5

∴a+2b=10

∴a和b之間的數(shù)量關(guān)系是a+2b=10

（2）①設(shè)直線AD的解析式為y=kx+c

∵直線AD與y軸交于（0，-7），A（2,5）

∴解得即直線AD的解析式為y=6x-7

聯(lián)立拋物線y=ax2+bx-3a-5與直線AD：y=6x-7 得

消去y得ax2+（b-6）x-3a+2=0

∵拋物線與直線AD有兩個(gè)交點(diǎn)

∴由韋達(dá)定理可得：xA+xD==，xAxD=

∵A（2,5）∴xA=2即xD=∵xD==

∴=解得a=2∴b== 4

∴此時(shí)拋物線的解析式為y= 2x2+4x-11

②如圖所示：作AI⊥y軸于點(diǎn)I，HJ⊥y軸于點(diǎn)J.設(shè)B（0，t）

∵A（2，5），∴AI=2，BJ=5-t

∵AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BH

∴AB=BH，∠ABH=90°，∠AIB=∠BJH=90°

∵∠IAB+∠IBA=90°，∠ABH+∠IBA+∠JBH=180°

∴∠IBA+∠JBH=90°即∠IAB=∠JBH

∴△AJB≌△BJH即AI=BJ=2，BI=IH=5-t

∴H（5-t，t-2）

∵D（-1，-13）∴yB-yD=t+13

同理可得：C（t+13，t-1）

設(shè)DH的解析式為y=k1x+b1

∴解得

即直線AD的解析式為

∵D、H、C三點(diǎn)共線

∴把C（t+13，t-1）代入得：

整理得2t2+31t+82=0解得，

由圖可知：①當(dāng)如圖1所示：

此時(shí)H（，） ，C（，）

∵點(diǎn)G為DH中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)

∴G1（，） ，F1（，）

由圖可知：當(dāng)如圖2所示：

此時(shí)H（，） ，C（，）

∵點(diǎn)G為DH中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)

∴G2（，） ，F2（，） （14分）

∴綜上所述：G1（，） ，F1（，）

G2（，） ，F2（，）。