Question

【題目】已知點(diǎn)A(t，y1)，B(t+2，y2)在拋物線y＝﹣x2的圖象上，且﹣2≤t≤2，則線段AB長的最大值______.

Answer 1

【答案】2

【解析】

由點(diǎn)A、B在拋物線上，可用t表示y1、y2，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式用t表示AB2，發(fā)現(xiàn)AB2與t是二次函數(shù)的關(guān)系，由拋物線性質(zhì)和自變量t的取值范圍可知：t在對稱軸上時(shí)取得最小值；觀察t本身的取值范圍，看t＝﹣2和t＝2哪個(gè)離對稱軸更遠(yuǎn)，即對應(yīng)的函數(shù)值最大.

解：∵點(diǎn)A(t，y1)，B(t+2，y2)在拋物線y＝﹣x2的圖象上，

∴y1＝﹣t2，y2＝﹣(t+2)2＝﹣t2﹣2t﹣2，

∴AB2＝(t+2﹣t)2+(y2﹣y1)2

＝22+(﹣t2﹣2t﹣2+t2)2

＝4+(﹣2t﹣2)2

＝4(t+1)2+4

∴AB2與t是二次函數(shù)的關(guān)系，由拋物線性質(zhì)可知：

當(dāng)t＝﹣1時(shí)，AB2取得最小值，AB2＝4，AB＝2

當(dāng)t＝2時(shí)，AB2取得最大值，AB2＝4×(2+1)2+4＝40，AB＝2，

故答案為：2.