【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,并與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖①所示, 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,連結(jié)BP、AP,求的面積的最大值;
(3)如圖②所示,在對(duì)稱軸的右側(cè)作交拋物線于點(diǎn),求出點(diǎn)的坐標(biāo);并探究:在軸上是否存在點(diǎn),使?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),最大值為;(3)存在,點(diǎn)坐標(biāo)為,理由見(jiàn)解析
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的解析式;
(2)求三角形面積的最值,先求出三角形面積的函數(shù)式.從圖形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,設(shè)P求出關(guān)于n的函數(shù)式,從而求S△PAB的最大值.
(3) 求點(diǎn)D的坐標(biāo),設(shè)D,過(guò)D做DG垂直于AC于G,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理或三角函數(shù)值來(lái)求t的值即得D的坐標(biāo);探究在y軸上是否存在點(diǎn),使?根據(jù)以上條件和結(jié)論可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍,聯(lián)想到同弧所對(duì)的圓周角和圓心角,所以以A為圓心,AO長(zhǎng)為半徑做圓交y軸與點(diǎn)Q,若能求出這樣的點(diǎn),就存在Q點(diǎn).
解:拋物線頂點(diǎn)為
可設(shè)拋物線解析式為
將代入得
拋物線,即
連接,
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí),最大值為
存在,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為
過(guò)作對(duì)稱軸的垂線,垂足為,
則
在中有
化簡(jiǎn)得
(舍去),
∴點(diǎn)D(,-3)
連接,在中
在以為圓心,為半徑的圓與軸的交點(diǎn)上
此時(shí)
設(shè)點(diǎn)為(0,m), AQ為的半徑
則AQ=OQ+OA, 6=m+3
即
∴
綜上所述,點(diǎn)坐標(biāo)為
故存在點(diǎn)Q,且這樣的點(diǎn)有兩個(gè)點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,點(diǎn),,線段與軸平行,且,拋物線
(1)當(dāng)時(shí),求該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)時(shí),求的最大值(用含的代數(shù)式表示);
(3)當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),的解析式為__________,頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________,點(diǎn)__________(填“是”或“否”)在上.
若線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向下平移,設(shè)平移的時(shí)間為(秒).
①若與線段總有公共點(diǎn),求的取值范圍;
②若同時(shí)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度向下平移,在軸及其右側(cè)的圖象與直線總有兩個(gè)公共點(diǎn),直接寫(xiě)出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為了解本地七年級(jí)學(xué)生寒假期間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)情況,隨機(jī)抽查了部分七年級(jí)學(xué)生寒假參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的天數(shù)(“A﹣﹣﹣不超過(guò)5天”、“B﹣﹣﹣6天”、“C﹣﹣﹣7天”、“D﹣﹣﹣8天”、“E﹣﹣﹣9天及以上”),并將得到的數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)以上的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)補(bǔ)全扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)所抽查學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)天數(shù)的眾數(shù)是 (選填:A、B、C、D、E);
(3)若該市七年級(jí)約有2000名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)參加社會(huì)實(shí)踐“活動(dòng)天數(shù)不少于7天”的學(xué)生大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】王老師在數(shù)學(xué)課上帶領(lǐng)同學(xué)們做數(shù)學(xué)游戲,規(guī)則如下:
游戲規(guī)則
甲任報(bào)一個(gè)有理數(shù)數(shù)傳給乙;
乙把這個(gè)數(shù)減后報(bào)給丙;
丙再把所得的數(shù)的絕對(duì)值報(bào)給;
丁再把這個(gè)數(shù)的一半減,報(bào)出答案.
根據(jù)游戲規(guī)則,回答下面的問(wèn)題:
(1)若甲報(bào)的數(shù)為,則乙報(bào)的數(shù)為_________,丁報(bào)出的答案是_________;
(2)若甲報(bào)的數(shù)為,請(qǐng)列出算式并計(jì)算丁報(bào)出的答案;
(3)若丁報(bào)出的答案是,則直接寫(xiě)出甲報(bào)的數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在矩形 ABCD 中,M,N,P,Q 分別為邊 AB,BC,CD,DA 上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合).對(duì)于任意矩形 ABCD,下面四個(gè)結(jié)論中:①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形 MNPQ 是平行四邊形;②存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形 MNPQ 是矩形;③存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形 MNPQ 是菱形;④不存在四邊形 MNPQ 是正方形.所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________________ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中 xOy 中,對(duì)于⊙C及⊙C內(nèi)一點(diǎn) P,給出如下定義:若存在過(guò)點(diǎn) P 的直線 l,使得它與⊙C 相交所截得的弦長(zhǎng)為,則稱點(diǎn) P 為⊙C的“k-近內(nèi)點(diǎn)”.
(1)已知⊙O的半徑為 4,
①在點(diǎn)中,⊙O的“4-近內(nèi)點(diǎn)”是______________;
②點(diǎn) P 在直線y=x上,若點(diǎn) P 為⊙O的“4-近內(nèi)點(diǎn)”,則點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)y的取值范圍是____________;
(2)⊙C的圓心為(-1,0),半徑為 3,直線x 軸,y 軸分別交于 M,N,若線段 MN 上存在⊙C的 “2 -近內(nèi)點(diǎn)”,則 b 的取值范圍是____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某水果專賣(mài)店5月份銷(xiāo)售芒果,采購(gòu)價(jià)為10元,上旬售價(jià)是15元,每天可賣(mài)出450.市場(chǎng)調(diào)查反映:如調(diào)整單價(jià),每漲價(jià)1元,每天要少賣(mài)出50;每降價(jià)1元,每天可多賣(mài)出150.調(diào)整價(jià)格時(shí)也要兼顧顧客利益。
(1)若專賣(mài)店5月中旬每天獲得毛利2400元,試求出是如何確定售價(jià)的.
(2)請(qǐng)你幫老板算一算,5月下旬如何確定售價(jià)每天獲得毛利最大,并求出最大毛利.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在半圓中,點(diǎn)是圓心,是直徑,點(diǎn)是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。
(1)求證:是半圓的切線;
(2)若,求的長(zhǎng)。
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