【題目】在正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,請(qǐng)你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說(shuō)明理;
(2)如圖2,當(dāng)E,F分別在邊CD,BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí),連接AE,DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請(qǐng)你直接回答“是”或“否”,不需證明);連接AC,求△ACE為等腰三角形時(shí)CE:CD的值;
(3)如圖3,當(dāng)E,F分別在直線DC,CB上移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E,F的移動(dòng),使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖.若AD=2,試求出線段CP的最大值.
圖1 圖2 圖3
【答案】(1)AE=DF,AE⊥DF,理由見解析;(2)成立,CE:CD=或2;(3)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì),由SAS先證得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF,∠DAE=∠CDF,再由等角的余角相等可得AE⊥DF;
(2)有兩種情況:①當(dāng)AC=CE時(shí),設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,由勾股定理求出AC=CE=a即可;②當(dāng)AE=AC時(shí),設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,由勾股定理求出AC=AE=a,根據(jù)正方形的性質(zhì)知∠ADC=90°,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DE=CD=a即可;
(3)由(1)(2)知:點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的圓,設(shè)AD的中點(diǎn)為Q,連接QC交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長(zhǎng)度最大,再由勾股定理可得QC的長(zhǎng),再求CP即可.
試題解析:(1)AE=DF,AE⊥DF,
理由是:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,
∵動(dòng)點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng),
∴DE=CF,
在△ADE和△DCF中
,
∴,
∴AE=DF,∠DAE=∠FDC,
∵∠ADE=90°,∴∠ADP+∠CDF=90°,
∴∠ADP+∠DAE=90°,
∴∠APD=180°-90°=90°,
∴AE⊥DF;
(2)(1)中的結(jié)論還成立,
有兩種情況:
①如圖1,當(dāng)AC=CE時(shí),
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,由勾股定理得,
,
則;
②如圖2,當(dāng)AE=AC時(shí),
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,由勾股定理得:
,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,即AD⊥CE,
∴DE=CD=a,
∴CE:CD=2a:a=2;
即CE:CD=或2;
(3)∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°,
∴點(diǎn)P的路徑是以AD為直徑的圓,
如圖3,設(shè)AD的中點(diǎn)為Q,連接CQ并延長(zhǎng)交圓弧于點(diǎn)P,
此時(shí)CP的長(zhǎng)度最大,
∵在Rt△QDC中,
∴,
即線段CP的最大值是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,CA⊥BC,垂足為C,AC=2cm,BC=6cm,射線BM⊥BQ,垂足為B,動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度沿射線CQ運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N為射線BM上一動(dòng)點(diǎn),滿足PN=AB,隨著P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)_____秒時(shí),△BCA與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以邊AB為直徑作⊙O,交BC于點(diǎn)D,過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E.
(1)求證:DE為⊙O的切線;
(2)若AB=13,sinB= ,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線交x軸于A,交y軸于B,過(guò)B作,且,點(diǎn)C在第四象限,點(diǎn).
求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);
點(diǎn)M是直線AB上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
點(diǎn)P、Q分別在直線AB和BC上,是以RQ為斜邊的等腰直角三角形直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線EF⊥BD,且交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE,DF,且BE平分∠ABD.
①求證:四邊形BFDE是菱形;
②直接寫出∠EBF的度數(shù).
(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖2,G,I分別在BF,BE邊上,且BG=BI,連接GD,H為GD的中點(diǎn),連接FH,并延長(zhǎng)FH交ED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IH與FH之間滿足的關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時(shí),點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),連接DE,作EF⊥DE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G.請(qǐng)直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,從下列四個(gè)條件①AB=BC,②AC⊥BD,③∠ABC=90°,④AC=BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件,使ABCD成為正方形,下列四種選法錯(cuò)誤的是( 。
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1,△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.將△ABC向左平移2格,再向上平移3格,得到△A′B′C′.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)畫出平移后的△A′B′C′的中線B′D′
(3)若連接BB′,CC′,則這兩條線段的關(guān)系是________
(4)△ABC在整個(gè)平移過(guò)程中線段AB 掃過(guò)的面積為________
(5)若△ABC與△ABE面積相等,則圖中滿足條件且異于點(diǎn)C的格點(diǎn)E共有______個(gè)
(注:格點(diǎn)指網(wǎng)格線的交點(diǎn))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一場(chǎng)活動(dòng)中活動(dòng)主辦方為了獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)中取得了好成績(jī)的參賽選手,計(jì)劃購(gòu)買共100件的甲、乙兩紀(jì)念品發(fā)放其中甲種紀(jì)念品每件售價(jià)120元,乙種紀(jì)念品每件售價(jià)80元,
(1)如果購(gòu)買甲、乙兩種紀(jì)念品一共花費(fèi)了9600元,求購(gòu)買甲、乙兩種紀(jì)念品各是多少件?
(2)設(shè)購(gòu)買甲種紀(jì)念品m件,如果購(gòu)買乙種紀(jì)念品的件數(shù)不超過(guò)甲種紀(jì)念品的數(shù)量的2倍,并且總費(fèi)用不超過(guò)9400元.問(wèn)組委會(huì)購(gòu)買甲、乙兩種紀(jì)念品共有幾種方案?哪一種方案所需總費(fèi)用最少?最少總費(fèi)用是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊 中, , , 分別是 , , 上的點(diǎn), , , ,則 的面積與 的面積之比等于( )
A.1∶3
B.2∶3
C. ∶2
D. ∶3
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