【題目】如圖,ABC,D是邊AB的中點,E是邊AC上一動點,連結DE,過點DDFDE交邊BC于點F(F與點B、C不重合),延長FD到點G,使DG=DF,連結EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.

(1)求證:ADG≌△BDF;

(2)請你連結EG,并求證:EF=EG

(3)AE=,CF=,關于的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;

(4)求線段EF長度的最小值.

【答案】(1)見解析(2) 見解析(3) 見解析(45

【解析】

1)由DAB中點知AD=BD,結合DG=DF,∠ADG=∠BDF即可得證;
2)連接EG.根據(jù)垂直平分線的判定定理即可證明.
3)由△ADG≌△BDF,推出∠GAB=∠B,推出∠EAG=90°,可得EF2=(8-x2+y2,EG2=x2+(6-y2,根據(jù)EF=EG,可得(8-x2+y2=x2+(6-y2,由此即可解決問題.
4)由EF===x=4時,取得最小值.

解:(1)∵D是邊AB的中點,
AD=BD,
在△ADG和△BDF中,
,
∴△ADG≌△BDFSAS);
2)如圖,連接EG

DG=FDDFDE,
DE垂直平分FG

EF=EG
3)∵DAB中點,
AD=DB
∵△ADG≌△BDF,
∴∠GAB=∠B
AB=10,BC=6,AC=8.

= +

∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°,∠CAB+∠GAB=90°,
∴∠EAG=90°,
AE=x,AC=8,
EC=8-x,
∵∠ACB=90°,
EF2=(8-x2+y2
∵△ADG≌△BDF,
AG=BF,
CF=y,BC=6,
AG=BF=6-y
∵∠EAG=90°,
EG2=x2+(6-y2,
EF=EG,
∴(8-x2+y2=x2+(6-y2,
y=,(x).
4)∵EC=8-x,CF=y=x-
EF=

=

=

=

∵(x-420,
25
∴當x=4時,EF取得最小值,最小值為5
故線段EF的最小值為5

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