【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,直線y=﹣x+8x軸于點A,交y軸于點B,點CAB上,AC5,CD∥OA,CDy軸于點D

1)求點D的坐標;

2)點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動,同時點Q從點A出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿AB勻速運動,設點P運動的時間為t秒(0t3),△PCQ的面積為S,求St之間的函數(shù)關系式;

3)在(2)的條件下,過點QRQ⊥ABy軸于點R,連接AD,點EAD中點,連接OE,求t為何值時,直線PRx軸相交所成的銳角與∠OED互余.

【答案】1D0,4);(2S=t26t+12;(3t

【解析】

1)首先證明AC=BC,利用平行線等分線段定理推出OD=BD=4即可解決問題.
2)如圖2,作PF⊥AB于點F,求出PF,CQ即可解決問題.
3)分兩種情形:當Ry軸的負半軸上,如圖3中,當Ry軸的正半軸上,如圖4中,用兩種方法求出OR,構建方程即可解決問題.

解:(1)如圖1中,

直線y=﹣x+8x軸于點A,交y軸于點B,

∴A6,0),B0,8

∴OA6OB8,

∴AB10,

∵AC5

∴ACBC5,

∵CD∥OA,

∴BDOD4

∴D0,4).

2)如圖2,作PF⊥AB于點F,PA6t

PFPAsin∠PAF6t),

∴CQ5t,

SCQPF5t6t)=t26t+12

3)如圖3中,作OG⊥AD 于點G,

Rt△AOD中,AD2

∵SAODODOAADOG

∴OG,

∴DG,

∵DEAE

∴GEDEDG,

∵∠OED+∠OPR90°,∠OED+∠EOG90°

∴∠OPR∠EOG,

∴tan∠OPRtan∠EOG

∵BRt,

∵tan∠OPROPt,

∴ORt,

Ry軸的負半軸上,如圖3中,

ORBR8t

tt,

解得t

Ry軸的正半軸上,如圖4中,

OR8BRt,

tt

解得t

綜上,當t值為,直線PRx軸相交所成的銳角與∠OED互余.

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1)求證:;

2)求證:;

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