Question

設函數y=kx²+（2k+1）x+1（k為實數）
（1）寫出其中的兩個特殊函數，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標系中，用描點法畫出這兩個特殊函數的圖象；
（2）根據所畫圖象，猜想出：對任意實數k，函數的圖象都具有的特征，并給予證明；
（3）對任意負實數k，當x＜m時，y隨著x的增大而增大，試求出m的一個值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令k=0或1，分別得到兩個特殊函數，畫出圖象即可；
（2）猜想：不論k取何值，函數y=kx²+（2k+1）x+1的圖象必過定點（0，1），（-2，-1）．由解析式變形，得y=k（x²+2x）+（x+1），可知當x²+2x=0，即x=0或-2時，函數值與k的取值無關，此時y=1或-1，可得定點坐標；
（3）只求m的一個值即可．當k＜0時，拋物線對稱軸為直線x=-，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，根據題意，得m≤-，而當k＜0時，-=-1-＞-1，可確定m的范圍，在范圍內取m的一個值即可．
解答：解：（1）如兩個函數為y=x+1，y=x²+3x+1，
函數圖形如圖所示；

（2）不論k取何值，函數y=kx²+（2k+1）x+1的圖象必過定點（0，1），（-2，-1），
且與x軸至少有1個交點．證明如下：
將x=0時代入函數中解出y=1，x=-2時代入函數中解出y=-1．
所以函數的圖象必過定點（0，1），（-2，-1）．
又因為當k=0時，函數y=x+1的圖象與x軸有一個交點；
當k≠0時，
∵△=（2k+1）²-4k=4k²+1＞0，所以函數圖象與x軸有兩個交點．
所以函數y=kx²+（2k+1）x+1的圖象與x軸至少有1個交點．

（3）只要寫出m≤-1的數都可以．
∵k＜0，
∴函數y=kx²+（2k+1）x+1的圖象在對稱軸直線x=-的左側，y隨x的增大而增大．
根據題意，得m≤-，而當k＜0時，-=-1-＞-1，
所以m≤-1．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法、二次函數的增減性等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．