Question

設(shè)函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1（k為實(shí)數(shù)）
（1）寫(xiě)出其中的兩個(gè)特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標(biāo)系中，用描點(diǎn)法畫(huà)出這兩個(gè)特殊函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)所畫(huà)圖象，猜想出：對(duì)任意實(shí)數(shù)k，函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；
（3）對(duì)任意負(fù)實(shí)數(shù)k，當(dāng)x＜m時(shí)，y隨著x的增大而增大，試求出m的一個(gè)值．

Answer 1

分析：（1）令k=0或1，分別得到兩個(gè)特殊函數(shù)，畫(huà)出圖象即可；
（2）猜想：不論k取何值，函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1的圖象必過(guò)定點(diǎn)（0，1），（-2，-1）．由解析式變形，得y=k（x²+2x）+（x+1），可知當(dāng)x²+2x=0，即x=0或-2時(shí)，函數(shù)值與k的取值無(wú)關(guān)，此時(shí)y=1或-1，可得定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）只求m的一個(gè)值即可．當(dāng)k＜0時(shí)，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-

2k+1

2k

，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，根據(jù)題意，得m≤-

2k+1

2k

，而當(dāng)k＜0時(shí)，-

2k+1

2k

=-1-

1

2k

＞-1，可確定m的范圍，在范圍內(nèi)取m的一個(gè)值即可．

解答：解：（1）如兩個(gè)函數(shù)為y=x+1，y=x²+3x+1，
函數(shù)圖形如圖所示；

（2）不論k取何值，函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1的圖象必過(guò)定點(diǎn)（0，1），（-2，-1），
且與x軸至少有1個(gè)交點(diǎn)．證明如下：
將x=0時(shí)代入函數(shù)中解出y=1，x=-2時(shí)代入函數(shù)中解出y=-1．
所以函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)（0，1），（-2，-1）．
又因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí)，函數(shù)y=x+1的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k≠0時(shí)，
∵△=（2k+1）²-4k=4k²+1＞0，所以函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
所以函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1的圖象與x軸至少有1個(gè)交點(diǎn)．

（3）只要寫(xiě)出m≤-1的數(shù)都可以．
∵k＜0，
∴函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1的圖象在對(duì)稱(chēng)軸直線x=-

2k+1

2k

的左側(cè)，y隨x的增大而增大．
根據(jù)題意，得m≤-

2k+1

2k

，而當(dāng)k＜0時(shí)，-

2k+1

2k

=-1-

1

2k

＞-1，
所以m≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法、二次函數(shù)的增減性等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．