設(shè)函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+1(k為實數(shù))
(1)寫出其中的兩個特殊函數(shù),使它們的圖象不全是拋物線,并在同一直角坐標(biāo)系中,用描點法畫出這兩個特殊函數(shù)的圖象;
(2)根據(jù)所畫圖象,猜想出:對任意實數(shù)k,函數(shù)的圖象都具有的特征,并給予證明;
(3)對任意負實數(shù)k,當(dāng)x<m時,y隨著x的增大而增大,試求出m的一個值.
【答案】分析:(1)令k=0或1,分別得到兩個特殊函數(shù),畫出圖象即可;
(2)猜想:不論k取何值,函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+1的圖象必過定點(0,1),(-2,-1).由解析式變形,得y=k(x2+2x)+(x+1),可知當(dāng)x2+2x=0,即x=0或-2時,函數(shù)值與k的取值無關(guān),此時y=1或-1,可得定點坐標(biāo);
(3)只求m的一個值即可.當(dāng)k<0時,拋物線對稱軸為直線x=-,在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大,根據(jù)題意,得m≤-,而當(dāng)k<0時,-=-1->-1,可確定m的范圍,在范圍內(nèi)取m的一個值即可.
解答:解:(1)如兩個函數(shù)為y=x+1,y=x2+3x+1,
函數(shù)圖形如圖所示;

(2)不論k取何值,函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+1的圖象必過定點(0,1),(-2,-1),
且與x軸至少有1個交點.證明如下:
將x=0時代入函數(shù)中解出y=1,x=-2時代入函數(shù)中解出y=-1.
所以函數(shù)的圖象必過定點(0,1),(-2,-1).
又因為當(dāng)k=0時,函數(shù)y=x+1的圖象與x軸有一個交點;
當(dāng)k≠0時,
∵△=(2k+1)2-4k=4k2+1>0,所以函數(shù)圖象與x軸有兩個交點.
所以函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+1的圖象與x軸至少有1個交點.

(3)只要寫出m≤-1的數(shù)都可以.
∵k<0,
∴函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+1的圖象在對稱軸直線x=-的左側(cè),y隨x的增大而增大.
根據(jù)題意,得m≤-,而當(dāng)k<0時,-=-1->-1,
所以m≤-1.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法、二次函數(shù)的增減性等知識點.主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+1(k為實數(shù))
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(2)根據(jù)所畫圖象,猜想出:對任意實數(shù)k,函數(shù)的圖象都具有的特征,并給予證明;
(3)對任意負實數(shù)k,當(dāng)x<m時,y隨著x的增大而增大,試求出m的一個值.

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設(shè)函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+2(k為任意實數(shù))
(1)求證:不論k為何值,該函數(shù)圖象都過點(0,2)和(-2,0);
(2)若該函數(shù)圖象與x軸只有一個交點,求k的值.

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(2)若該函數(shù)圖象與x軸只有一個交點,求k的值.

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