【題目】如圖,點F在ABCD的對角線AC上,過點F,B分別作AB,AC的平行線相交于點E,連接BF,∠ABF=∠FBC+∠FCB.

(1)求證:四邊形ABEF是菱形;
(2)若BE=5,AD=8,sin∠CBE= ,求AC的長.

【答案】
(1)證明:∵EF∥AB,BE∥AF,

∴四邊形ABEF是平行四邊形.

∵∠ABF=∠FBC+∠FCB,∠AFB=∠FBC+∠FCB,

∴∠ABF=∠AFB,

∴AB=AF,

ABEF是菱形;


(2)解:作DH⊥AC于點H,

,

∴∠CBE=30°,

∵BE∥AC,

∴∠1=∠CBE,

∵AD∥BC,

∴∠2=∠1,

∴∠2=∠CBE=30°,

Rt△ADH中, ,

DH=ADsin∠2=4,

∵四邊形ABEF是菱形,

∴CD=AB=BE=5,

Rt△CDH中, ,


【解析】(1)易證四邊形ABEF是平行四邊形,再證AB=AF,即可得證;
(2)作DH⊥AC于點H,求得∠CBE=30°,再證明∠2=∠1=30°,求出AH的長,在Rt△CDH中求出CH的長,由AC=AH+CH可得.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.

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