Question

【題目】閱讀理解：

方法準備：

我們都知道：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，若AD=a，BC=b，AB=c，那么四邊形ABCD的面積S=．

如圖2，在四邊形ABCD中，兩條對角線AC⊥BD，垂足為O，則四邊形ABCD的面積=AC×OD+AC×OB=AC×（OD+OB）=AC×BD．

解決問題：

（1）我們以a、b 為直角邊，c為斜邊作兩個全等的直角△ABE與△FCD，再拼成如圖3所示的圖形，使B，E，F，C四點在一條直線上（此時E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF． 請你證明：a2+b2=c2．

（2）固定△FCD，再將△ABE沿著BC平移到如圖4所示的位置（此時B，F重合），請你繼續(xù)證明：a2+b2=c2．

（3）當(dāng)△ABE平移到如圖5的位置，結(jié)論a2+b2=c2還成立嗎？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）成立，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接AD，由四邊形ABCD的面積=△ABE的面積+△FCD的面積+△ADE的面積，得出（a+b）2=ab×2+c2，即可得出結(jié)論；

（2）連接AD、DE，四邊形ABCD的面積=四邊形ABED的面積+△DCE的面積，得出（a+b）×a=c2+b（a﹣b），即可得出結(jié)論；

（3）連接AF、AD、DE，設(shè)CE=x，則BE=b，FB=a﹣b﹣x，由△ABF的面積+四邊形ABCD的面積=四邊形AFED的面積+△CDE的面積，得出a（a﹣b﹣x）+（a+b）（b+x）=c2+bx，即可得出結(jié)論．

（1）證明：連接AD，如圖1所示：

則四邊形ABCD是直角梯形，

∴四邊形ABCD的面積=（a+b）（a+b）=（a+b）2，

∵四邊形ABCD的面積=△ABE的面積+△FCD的面積+△ADE的面積，

即（a+b）2=ab×2+c2，

化簡得：（a+b）2=2ab+c2，

∴a2+b2=c2；

（2）證明：連接AD、DE，如圖2所示：

則四邊形ABCD的面積=四邊形ABED的面積+△DCE的面積，

即（a+b）×a=c2+b（a﹣b），

化簡得：ab+a2=c2+ab﹣b2，

∴a2+b2=c2；

（3）成立；理由如下：

連接AF、AD、DE，如圖3所示：

設(shè)CE=x，則BE=b，FB=a﹣b﹣x，

∵△ABF的面積+四邊形ABCD的面積=四邊形AFED的面積+△CDE的面積，

∴a（a﹣b﹣x）+（a+b）（b+x）=c2+bx，

化簡得：a2﹣ab﹣ax+ab+ax+b2+bx=c2+bx，

∴a2+b2=c2．