Question

【題目】在銳角△ABC中，AB＝6，BC＝11，∠ACB＝30°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．

(1)如圖1，當點C1在線段CA上時，∠CC1A1＝_____°；

(2)如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為24，求△CBC1的面積；

(3)如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是P1，求在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EP1長度的最大值與最小值的差．

Answer 1

【答案】(1)60；(2)＝；(3)11.5．

【解析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠A1C1B＝30°，再由等邊對等角得∠BC1C＝30°，則∠CC1A1＝60°；

(2)由△ABC≌△A1BC1得比例式，證明△ABA1∽△CBC1，根據(jù)面積比等于相似比的平方求出△CBC1的面積；

(3)作輔助線，當點P在D處時BP最小，則BP1最小，EP1最��；當點P在點C處時，BP最大，則BP1最大，EP1最大，代入計算．

(1)如圖1，

由旋轉(zhuǎn)得：∠A1C1B＝∠C＝30°，BC＝BC1，

∴∠C＝∠BC1C＝30°，

∴∠CC1A1＝60°，

故答案為：60；

(2)如圖2，

∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，

∴，

∵∠ABA1＝∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1，

∴＝，

∵＝24，

∴＝；

(3)如圖4，過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD＝BC×sin30°＝5.5，

以B為圓心，BD為半徑畫圓交AB于P1′，BP1有最小值BP1′．

∴EP1的最小值為5.5﹣3＝2.5，

以B為圓心，BC為半徑畫圓交AB的延長線于P1″，BP1有最大值BP1″．

此時EP1的最大值為11+3＝14，

∴線段EP1的最大值與最小值的差為14﹣2.5＝11.5．