Question

【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點(diǎn)M.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的周長最小?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

Answer 1

【答案】（1）；對稱軸是x=3；（2） .

【解析】

（1）由拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)兩點(diǎn)式，再代入點(diǎn)A即可求出解析式；

（2）找到點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)，連接BA'交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP,此時(shí)△PAB的周長最小,再根據(jù)B、A'兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出其直線解析式，再由P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,4),B(1,0),C(5,0),可設(shè)兩點(diǎn)式,

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4),

求得a=,

∴y=(x-1)(x-5)=x2-x+4= (x-3)2-,

∴對稱軸是x=3.

(2)

如圖1,點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(6,4),連接BA'交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP,此時(shí)△PAB的周長最小,

設(shè)直線BA'的解析式為y=kx+b,

把A'(6,4),B(1,0)代入得解得,

∴y=x-.

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,

∴y=×3-=.

∴P(3,).