【題目】如圖,正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形.
(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長;
(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,點D(2,m)(m<2)在反比例函數(shù)圖象上,求m的值及反比例函數(shù)解析式;
(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,C、D中的一個點坐標(biāo)為(3,4).寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標(biāo),寫出符合題意的其中一條拋物線解析式,并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?.(本小題只需直接寫出答案)
【答案】(1)正方形邊長為;(2)m=1,y=;(3)D坐標(biāo)為(﹣1,3);y=x2+ ;所求的任何拋物線的伴侶正方形個數(shù)為偶數(shù).
【解析】
此題較為新穎,特別要注意審題和分析題意,耐心把題讀完,知A、B為坐標(biāo)軸上兩點,C、D為函數(shù)圖象上的兩點:(1)先正確地畫出圖形,再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點的坐標(biāo)從而計算正方形的邊長,注意思維的嚴(yán)密性.
(2)因為ABCD為正方形,所以可作垂線得到等腰直角三角形,利用點D(2,m)的坐標(biāo)表示出點C的坐標(biāo)從而求解.
(3)注意思維的嚴(yán)密性,拋物線開口既可能向上,也可能向下.當(dāng)拋物線開口向上時,正方形的另一個頂點也是在拋物線上,這個點既可能在點(3,4)的左邊,也可能在點(3,4)的右邊,過點(3,4)向x軸作垂線,利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標(biāo);當(dāng)拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論.
(1)∵正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形.
當(dāng)點A在x軸正半軸、點B在y軸負(fù)半軸上時,
∴AO=1,BO=1,
∴正方形ABCD的邊長為
當(dāng)點A在x軸負(fù)半軸、點B在y軸正半軸上時,設(shè)正方形ABCD的邊長為a,得3a=
∴a= ,所以正方形邊長為 ;
(2)作DE、CF分別垂直于x、y軸,
知△ADE≌△BAO≌△CBF,此時,m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2﹣m
∴OF=BF+OB=2
∴C點坐標(biāo)為(2﹣m,2)
∴2m=2(2﹣m)
解得m=1,
∴反比例函數(shù)的解析式為y= ;
(3)根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
過C作CF⊥x軸,垂足為F,過D作DE⊥CF,垂足為E,
∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC,
∵C(3,4),即CF=4,OF=3,
∴EG=3,DE=4,故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1,則D坐標(biāo)為(﹣1,3);設(shè)過D與C的拋物線的解析式為:y=ax2+b,
把D和C的坐標(biāo)代入得: ,
解得 ,
∴滿足題意的拋物線的解析式為y=x2+;
同理可得D的坐標(biāo)可以為:(7,﹣3);(﹣4,7);(4,1),對應(yīng)的拋物線分別為y=x2+;y=x2+;y=x2+,所求的任何拋物線的伴侶正方形個數(shù)為偶數(shù).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家教委規(guī)定“中小學(xué)生每天在校體育活動時間不低于1小時”.為此某中學(xué)為了了解學(xué)生體育活動情況,隨機調(diào)查了720名畢業(yè)班學(xué)生,調(diào)查內(nèi)容是:“每天鍛煉是否超過1小時及未超過1小時的原因”,所得的數(shù)據(jù)制成了的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖.根據(jù)圖示,解答下列問題:
(1)若在被調(diào)查的學(xué)生中隨機選出一名學(xué)生測試其體育成績,選出的恰好是“每天鍛煉超過1小時”的學(xué)生的概率是多少?
(2)“沒時間”的人數(shù)是多少?并補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)2010年這個地區(qū)初中畢業(yè)生約為3.2萬人,按此調(diào)查,可以估計2010年這個地區(qū)初中畢業(yè)生中每天鍛煉未超過1小時的學(xué)生約有多少萬人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)如圖,已知三角形ABC的邊AB是⊙O的切線,切點為B.AC經(jīng)過圓心O并與圓相交于點D、C,過C作直線CE丄AB,交AB的延長線于點E.
(1)求證:CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,BC=12,高AD=8,矩形EFGH的一邊GH在BC上,頂點E、F分別在AB、AC上,AD與EF交于點M.
(1)求證:;
(2)設(shè)EF=x,EH=y(tǒng),寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)設(shè)矩形EFGH的面積為S,求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式,并寫出S的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點A(0,2),對稱軸為直線x=﹣2,平行于x軸的直線與拋物線交于B、C兩點,點B在對稱軸左側(cè),BC=6.
(1)求此拋物線的解析式.
(2)點P在x軸上,直線CP將△ABC面積分成2:3兩部分,請直接寫出P點坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣1,與x軸的一個交點為(﹣5,0),則一元二次方程ax2+bx+c=0的另一根為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.
(1)試求A,B,C的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°,得到△BAD.3
①求點D的坐標(biāo);
②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;
(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使△BMP與△BAD相似?若存在,請直接寫出所有滿足條件的P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最小?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的方程:mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0.
(1)求證:無論m取何值時,方程恒有實數(shù)根;
(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時,求拋物線的解析式.
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