Question

【題目】已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．

（1）求證：ACAD=ABAE；

（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點(diǎn)，E是OB的中點(diǎn)，當(dāng)BC=2時(shí)，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）4．

【解析】

試題分析：（1）連接DE，根據(jù)圓周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，進(jìn)而證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論；

（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根據(jù)已知求得∠OBD=30°，進(jìn)而求得∠BAC=30°，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得AC的長(zhǎng)．

試題解析：（1）連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABC，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴ACAD=ABAE；

（2）解：連接OD，∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD，在RT△OBD中，OE=BE=OD，∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．