【題目】如圖,拋物線y=ax2+bxA4,0),B1,3)兩點(diǎn),點(diǎn)CB關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出△ABC的面積;

3)點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn),且位于第四象限,當(dāng)△ABP的面積為6時,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

4)若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動,點(diǎn)Nx軸上運(yùn)動,當(dāng)以點(diǎn)C、MN為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時,請直接寫出此時△CMN的面積.

【答案】1y=﹣x2+4x;(2)(33);3;(3)(5,﹣5);(42.514.5175

【解析】

試題(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸x=2寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3),根據(jù)面積公式求△ABC的面積;(3)因為點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn),且位于第四象限,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(m﹣m2+4m),利用差表示△ABP的面積,列式計算求出m的值,寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);(4)分別以點(diǎn)C、MN為直角頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論,利用全等三角形和勾股定理求CMCN的長,利用面積公式進(jìn)行計算.

試題解析:(1)把點(diǎn)A4,0),B1,3)代入拋物線y=ax2+bx中,

解得:,

拋物線表達(dá)式為:y=﹣x2+4x;

2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3),

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(13),

∴BC=2,

∴SABC=×2×3=3

3)過P點(diǎn)作PD⊥BHBH于點(diǎn)D,

設(shè)點(diǎn)Pm,﹣m2+4m),

根據(jù)題意,得:BH=AH=3,HD=m2﹣4mPD=m﹣1,

∴SABP=SABH+S四邊形HAPD﹣SBPD,

6=×3×3+3+m﹣1)(m2﹣4mm﹣1)(3+m2﹣4m),

∴3m2﹣15m=0,

m1=0(舍去),m2=5,

點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,﹣5).

4)以點(diǎn)CM、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時,分三類情況討論:

以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且Mx軸上方時,如圖2,CM=MN,∠CMN=90°,

△CBM≌△MHN,

∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1,

∴M1,2),N2,0),

由勾股定理得:MC=,

∴SCMN=××=

以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且Mx軸下方時,如圖3,作輔助線,構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形:Rt△NEMRt△MDC,

Rt△NEM≌Rt△MDC

∴EM=CD=5,MD=ME=2

由勾股定理得:CM==,

∴SCMN=××=;

以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且Ny軸左側(cè)時,如圖4,CN=MN,∠MNC=90°,作輔助線,

同理得:CN==,

∴SCMN=××=17;

以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且Ny軸右側(cè)時,作輔助線,如圖5,同理得:CN==

∴SCMN=××=5;

C為直角頂點(diǎn)時,不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形;

綜上所述:△CMN的面積為:175

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在抗擊“新冠肺炎疫情”的日子里,上海全市學(xué)生積極響應(yīng)號召開展“停課不停學(xué)”的線上學(xué)習(xí)活動,某中學(xué)為了了解全校1200名學(xué)生一周內(nèi)平均每天進(jìn)行在家體育鍛煉時間的情況,隨機(jī)調(diào)查了該校100名學(xué)生一周內(nèi)平均每天在家體育鍛煉時間的情況,結(jié)果如下表:

時間(分)

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

人數(shù)

16

24

14

10

8

6

8

4

6

4

完成下列各題:

1)根據(jù)上述統(tǒng)計表中的信息,可知這100名學(xué)生一周內(nèi)平均每天在家體育鍛煉時間的眾數(shù)是______分,中位數(shù)是_______分;

2)小李根據(jù)上述統(tǒng)計表中的信息,制作了如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(不完整),那么①頻數(shù)分布表中m=______,n=______;②請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

3)請估計該學(xué)校平均每天在家體育鍛煉時間不少于35分鐘的學(xué)生大約有______人.

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【題目】問題原型:在圖①的矩形MNPQ中,點(diǎn)E、F、G、H分別在NP、PQ、QM、MN上,若∠1=2=3=4,則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形.

操作與探究:在圖②,圖③的矩形ABCD中,AB=4,BC=8點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上,試?yán)谜叫尉W(wǎng)格分別作出兩圖中矩形ABCD的反射四邊形EFGH,并求出每個反射四邊形EFGH的周長.

發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用:由前面的操作可以發(fā)現(xiàn)一個矩形有不同的反射四邊形,且這些反射四邊形的周長都相等,若在圖①矩形MNPQ中,MN=3,NP=4則其反射四邊形EFGH的周長為  

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某書店為了迎接讀書節(jié)制定了活動計劃,以下是活動計劃書的部分信息:

讀書節(jié)活動計劃書

書本類別

A

B

進(jìn)價(單位:元)

18

12

備注

1.用不超過16800元購進(jìn)A,B兩類圖書共1000本;

2.A類圖書不少于600本;

……

(1)陳經(jīng)理查看計劃數(shù)時發(fā)現(xiàn):A類圖書的標(biāo)價是B類圖書標(biāo)價的1.5倍,若顧客用540元購買圖書,能單獨(dú)購買A類圖書的數(shù)量恰好比單獨(dú)購買B類圖書的數(shù)量少10本,請求出A,B兩類圖書的標(biāo)價;

(2)經(jīng)市場調(diào)查后,陳經(jīng)理發(fā)現(xiàn)他們高估了讀書節(jié)對圖書銷售的影響,便調(diào)整了銷售方案,A類圖書每本標(biāo)價降低a(0<a<5)銷售,B類圖書價格不變,那么書店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤?

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【題目】小明想測量位于池塘兩端的A、B兩點(diǎn)的距離.他沿著與直線AB平行的道路EF行走,當(dāng)行走到點(diǎn)C處,測得ACF45°,再向前行走100米到點(diǎn)D處,測得BDF60°.若直線ABEF之間的距離為60米,求A、B兩點(diǎn)的距離(結(jié)果保留根號).

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【題目】在圖12中,⊙O過了正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)A、BCD,請你僅用無刻度的直尺分別在圖1、圖2、圖3中畫出一個滿足下列條件的∠P

1)頂點(diǎn)P在⊙O上且不與點(diǎn)AB、CD重合;

2)∠P在圖1、圖2、圖3中的正切值分別為1、、2

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【題目】為了了解中學(xué)生的身體發(fā)育情況,對某一中學(xué)同年齡的50名女學(xué)生的身高進(jìn)行了測量,結(jié)果如下(單位:厘米)

完成下面的頻率分布表.

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【題目】如圖,有一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被平均分成3個扇形,分別標(biāo)有1、2、3三個數(shù)字,小王和小李各轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤為一次游戲,當(dāng)每次轉(zhuǎn)盤停止后,指針?biāo)干刃蝺?nèi)的數(shù)為各自所得的數(shù),一次游戲結(jié)束得到一組數(shù)(若指針指在分界線時重轉(zhuǎn)).

(1)請你用樹狀圖或列表的方法表示出每次游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果;

(2)求每次游戲結(jié)束得到的一組數(shù)恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,對于平面上不大于,我們給出如下定義:若點(diǎn)P的內(nèi)部或邊界上,作于點(diǎn)E,.于點(diǎn),則稱為點(diǎn)P相對于的“優(yōu)點(diǎn)距離”,記為

如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)或兩條坐標(biāo)軸正半軸上的動點(diǎn),且滿足5,點(diǎn)P運(yùn)動形成的圖形記為圖形G

1)滿足條件的其中一個點(diǎn)P的坐標(biāo)是 __,圖形G與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積等于 __ ;

2)設(shè)圖形Gx軸的公共點(diǎn)為點(diǎn)A,如圖3,已知,,求的值;

3)如果拋物線經(jīng)過(2)中的A,B兩點(diǎn),點(diǎn)QA,B兩點(diǎn)之間的物線上(點(diǎn)Q可與A,B兩點(diǎn)重合),求當(dāng)取最大值時,點(diǎn)Q 的坐標(biāo).

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