Question

【題目】如圖，AB為圓O的直徑，PD切圓O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且 D=2 CAD．

（1）求 D的度數(shù)；
（2）若CD=2，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 和 分別是弧 所對(duì)的圓心角和圓周角，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 與⊙O相切于點(diǎn) ，
∴ ，
∴ ．
∴ 是等腰直角三角形，
∴
（2）解：由第（1）問(wèn)可知 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴
【解析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得出∠ C O D = 2 ∠ A ，又因∠ D = 2 ∠ A ，從而得出∠ C O D = ∠ D ；根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑得出O C ⊥ P D ，故∠ O C D = 90 ° ，從而得出△ O C D 是等腰直角三角形，故∠ D = 45 ° ；
（2）根據(jù)由第（1）問(wèn)可知 △ O C D 是等腰直角三角形及同圓的半徑相等得出O C = C D = 2 =OB；根據(jù)勾股定理得出OD的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段的和差得出BD的長(zhǎng)度。