Question

【題目】已知：為的直徑，為圓弧上一點(diǎn)，垂直于過點(diǎn)的切線，垂足為，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn).，垂足為點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，若，連接交于點(diǎn)，且時(shí)，求的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

1）連結(jié)OC，如圖1，先利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，再判斷OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，則有∠1=∠2，于是可判斷，即可得到；

（2）連結(jié)OC，如圖2，先證明△OCG∽△DAG得到，即可求出=10，Rt△OCF中利用勾股定理即可求出．

（1）連結(jié)，

∵直線與相切于點(diǎn)，∴，

∵∴

∴，∴，

∵，∴，∴，

∵∴

∴在和中

∴

∴

（2）連結(jié)，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴∴

∴∴

由勾股定理

本題考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)等．