【題目】如圖,⊙O的半徑為1,AP,B,C是⊙O上的四個點.∠APC=CPB=60°

1)判斷ABC的形狀:

2)試探究線段PA,PBPC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

3)當(dāng)點P位于的什么位置時,四邊形APBC的面積最大?求出最大面積.

【答案】1)等邊三角形;(2PA+PB=PC;證明見解析(3)當(dāng)點P的中點時,四邊形APBC面積最大值為

【解析】

1)根據(jù)圓周角的定義可得圓周角相等,他們所對的弦也相等得出AC=BC,同弧所對的圓周角相等可得∠BAC=BPC=60°,有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形,可得三角形ABC為等邊三角形.(2)在PC上截取PD=PA,連接AD,得出PAD為等邊三角形,再根據(jù)已知條件得出PAB≌△DAC,得出PC=DCPD+DC=PC,等量代換得出結(jié)論.(3)當(dāng)點P的中點時,四邊形APBC的面積最大.理由,如圖過點PPEAB,CFAB垂足分別為點E,點F,四邊形APBC的面積為APBACB的和,底相同,當(dāng)PE+CF最大時,四邊形的面積最大,因為直徑是圓中最大的弦,即PE+CP=直徑,即P的中點時,面積最大.

1)等邊三角形;

由圓周角定理得,∠ABC=APC=60°,∠BAC=CPB=60°

∴△ABC是等邊三角形;
故答案為:等邊三角形;

2PA+PB=PC

證明:如圖1,在PC上截取PD=PA, 連接AD

∵∠APC=60°

∴△PAD是等邊三角形.

PA=AD PAD=60°,

又∵∠BAC=60°,

∴∠PAB=DAC

AB=AC

∴△PAB≌△DAC

PB=DC

PD+DC=PC,

PA+PB=PC

3)當(dāng)點P的中點時,四邊形APBC面積最大.

理由如下:如圖2,過點PPEAB,垂足為E,

過點CCFAB,垂足為F

SPAB=AB·PESABC=AB·CF

S四邊形APBC=ABPE+CF).

當(dāng)點P的中點時,PE+CF=PCPC為⊙O的直徑.

∴此時四邊形∠PAD=60°PAD=60°面積最大.

又∵⊙O的半徑為1

∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB=

S四邊形APBC=×2×=

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