Question

【題目】如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，過(guò)AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，CF．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若AB=，∠DCF=30°，求四邊形AECF的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由過(guò)AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四邊形ABCD是矩形，易證得△AOF≌△COE，則可得AF=CE，繼而證得結(jié)論；

（2）由四邊形ABCD是矩形，易求得CD的長(zhǎng)，然后利用三角函數(shù)求得CF的長(zhǎng)，繼而求得答案．

試題解析：（1）證明：∵O是AC的中點(diǎn)，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，∵∠AFO=∠CEO，∠AOF=∠COE，OA=OC，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四邊形AECF是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四邊形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四邊形AECF是的面積為：ECAB=．