【題目】已知如圖1,線段AB、CD相交于點O,連接AD、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.試解答下列問題:
(1)在圖1中,寫出∠A,∠B,∠C,∠D之間的關系為
(2)如圖2,在圖1的結(jié)論下,∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P,并且與CD、AB分別相交于M、N.
①仔細觀察,在圖2中“8字形”的個數(shù):______個;
②若,,試求∠P的度數(shù);
③∠B和∠D為任意角時,其他條件不變,試直接寫出∠P與∠B,∠D之間的數(shù)量關系,不需要說明理由.
【答案】(1)∠A+∠D=∠B+∠C;(2)①6;②;③.
【解析】
(1)利用三角形外角定理和對頂角相等,即可得出∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)①通過分析圖1中“8字形”的結(jié)構(gòu),可通過任意兩條不相交的直線和其內(nèi)部的直線結(jié)構(gòu)來判斷圖2中“8字形”的數(shù)量;
②利用第(1)的結(jié)論可知∠1+∠D=∠3+∠P,∠2+∠P=∠4+∠B,再根據(jù)平分線的性質(zhì),將上式分別相減,即可得到∠P的度數(shù);
③根據(jù)第②題的結(jié)論即可解答.
解:(1)根據(jù)三角形外角定理可得:
∠A+∠D=∠DOB
∠B+∠C =∠AOC
在根據(jù)對頂角相等,得
∠DOB=∠AOC
∴∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)①6;
②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠1+∠D=∠3+∠P,∠2+∠P=∠4+∠B,
∴∠D∠P=∠P∠B,
即∠P=(∠D+∠B),
∵∠D=40,∠B=36
∴∠P=(40+36)=38;
③由第②題可得
∠P=(∠B+∠D).
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【題目】本學期我們學習了一元一次方程的解法,下面是小亮同學的解題過程:
解方程:
解:方程兩邊同時乘以15,去分母,得3(20x﹣3)﹣5(10x+4)=15……①
去括號,得60x﹣9﹣50x+20=15……②
移項,得60x﹣50x=15+9﹣20……③
合并同類項,得10x=4……④
系數(shù)化1,得x=0.4……⑤
所以x=0.4原方程的解
(1)上述小亮的解題過程從第 (填序號)步開始出現(xiàn)錯誤,錯誤的原因是 .
(2)請寫出此題正確的解答過程.
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【題目】如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象在第一象限內(nèi)相交A、B兩點,A、B兩點的縱坐標分別為1,3,且AB=2
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)如果M為x軸上一點,N為y軸上一點,以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,試求直線MN的函數(shù)表達式.
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【題目】閱讀下列例題的解題過程,并完成相關問題
例:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8 cm,AD=12cm,BC=18cm,點P從點A出發(fā),以1cm/s的速度向點D運動;點Q從點C同時出發(fā),以2cm/s的速度向點B運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動.從運動開始,使PQ∥CD和PQ=CD,分別經(jīng)過多長時間?為什么?
解:①設經(jīng)過ts時,PQ∥CD且PQ=CD,此時四邊形PQCD為平行四邊形.
∵PD=(12-t)cm,CQ=2t cm,
∴12-t=2t.∴t=4.
∴當t=4時,PQ∥CD,且PQ=CD.
②設經(jīng)過ts時,PQ=CD,分別過點P,D作BC邊的垂線PE,DF,垂足分別為E,F.
當CF=EQ時,四邊形PQCD為梯形(腰相等)或者平行四邊形.
∵∠B=∠A=∠DFB=90°,
∴四邊形ABFD是矩形.∴AD=BF.
∵AD=12 cm,BC=18 cm,
∴CF=BC-BF=6 cm.
當四邊形PQCD為梯形(腰相等)時,
PD+2(BC-AD)=CQ,
∴(12-t)+12=2t.∴t=8.
∴當t=8時,PQ=CD.
當四邊形PQCD為平行四邊形時,由①知當t=4時,PQ=CD.
綜上,當t=4時,PQ∥CD;當t=4或t=8時,PQ=CD.
問題1:在整個運動過程中是否存在t值,使得四邊形PQCD是菱形?若存在,請求出t值;若不存在,請說明理由.
問題2:從運動開始,當t取何值時,四邊形PQBA是矩形?
問題3:在整個運動過程中是否存在t值,使得四邊形PQBA是正方形?若存在,請求出t值;若不存在,請說明理由.
問題4:是否存在t,使得△DQC是等腰三角形?若存在,請求出t值;若不存在,請說明理由.
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【題目】(6分)△ABC與△A′B′C′在平面直角坐標系中的位置如圖.
(1)分別寫出下列各點的坐標:A′ ; B′ ;C′ ;
(2)說明△A′B′C′由△ABC經(jīng)過怎樣的平移得到? .
(3)若點P(a,b)是△ABC內(nèi)部一點,則平移后△A′B′C′內(nèi)的對應點P′的坐標為 ;
(4)求△ABC的面積.
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【題目】已知:如圖,△ABC 中,∠CAB=90°,AC=AB,點 D、E 是 BC 上的兩點,且∠DAE=45°,△ADC 與△ADF 關于直線AD 對稱.
(1)求證:△AEF≌△AEB;
(2)求∠DFE 的度數(shù).
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【題目】如圖,已知FG⊥AB,CD⊥AB,垂足分別為G,D,∠1=∠2,
求證:∠CED+∠ACB=180°,
請你將小明的證明過程補充完整.
證明:∵FG⊥AB,CD⊥AB,垂足分別為G,D(已知)
∴∠FGB=∠CDB=90°( ).
∴GF∥CD( )
∵GF∥CD(已證)
∴∠2=∠BCD( )
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠BCD( )
∴ ( )
∴∠CED+∠ACB=180°( )
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【題目】閱讀材料;
課堂上,老師設計了一個活動:將一個4×4的正方形網(wǎng)格沿著網(wǎng)格線劃分成兩部分(分別用陰影和空白表示),使得這兩部分圖形是全等的,請同學們嘗試給出劃分的方法.約定:如果兩位同學的劃分結(jié)果經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、翻折后能夠重合,那么就認為他們的劃分方法相同.
小方、小易和小紅分別對網(wǎng)格進行了劃分,結(jié)果如圖①、圖②、圖③所示.
小方說:“我們?nèi)齻人的劃分方法都是正確的,但是將小紅的整個圖形(圖③)逆時針旋轉(zhuǎn)90后得到的劃分方法與我的劃分方法(圖①)是一樣的,應該認為是同一種方法,而小易的劃分方法與我的不同,”
老師說:“小方說得對.”
完成下列問題:
(1)圖④的劃分方法是否正確?
(2)判斷圖⑤的劃分方法與圖②小易的劃分方法是否相同,并說明你的理由.
(3)請你再想出一種與已有方法不同的劃分方法,使之滿足上述條件,并在圖⑥中畫出來.
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