【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線:軸相交于B,與軸相交于點A.直線:經過原點,并且與直線相交于C.

(1)ΔOBC的面積;

(2)如圖2,在軸上有一動點E,連接CE.CE+BE是否有最小值,如果有,求出相應的點E的坐標及CE+BE的最小值;如果沒有,請說明理由;

(3)如圖3,在(2)的條件下,以CE為一邊作等邊ΔCDE,D點正好落在軸上.ΔDCE繞點D順時針旋轉,旋轉角度為(0°≤≤360),記旋轉后的三角形為ΔDCE′,點C,E的對稱點分別為C′,E′.在旋轉過程中,設C′E′所在的直線與直線相交于點M,與軸正半軸相交于點N.ΔOMN為等腰三角形時,求線段ON的長?

【答案】(1) ;(2)E60),最小值為.(3) ON3-6333+3.

【解析】

1)求出點BC的坐標,就可以求出OBC的面積;
2)作點C關于x軸的對稱點P,作射線BP,過點CCHBPx軸于點E,則CE+BE有最小值;
3)分兩種情況:∠MON為等腰三角形的頂角或底角.

1)如圖1,易求點B90),解方程組 得:
故點C),
SOBC=×9×=
2)如圖2,作點C關于x軸的對稱點P,作射線BP,過點EEHBP于點H,取BE中點I,連接HI

易知:∠BOC=OBC=OBP=30°,∠BHE=90°,
IE=IB,
IH=IE=IB
∵∠BEH=60°,
∴△EIH是等邊三角形,
EH=EI=EB,
∴當C、E、H三點共線且CHBP時,CH的長度最小,即CE+BE有最小值;


OC=CB=3,∠BCH=30°,∠BHC=90°,
BH=BC=
CH=
=
CE+BE有最小值為
RtBEH中,∵∠EBH=30°,
EH=BE
BE2-EH2=BH2
BE=3
E6,0).
3OMN為等腰三角形,分三種情況:
①當∠OMN=ONM時,
∵∠MON=30°


∴∠OMN=ONM=75°
如圖3,當∠OMN=ONM=75°時,∠C′DN=45°,∠DC′N=60°,
∴∠CDC′=α=15°,過點NNGDC′G,
可求得GC′=
ON
如圖4,當∠OMN=ONM=75°時,∠C′DN=45°,旋轉角α=195°
過點NNGDC′G,
可求得DN=
ON=3-,
②如圖5,當∠OMN=MON=30°時,∠ONM=120°,
此時旋轉角α=60°,易得ON=6

③如圖6,圖7,當∠ONM=NOM=30°時,
∴∠OMN=120°,
∵∠DE′C′=60°α=150°330°,
DE′OM,
過點E′E′Gx軸于G,可求得DN=3,
ON333
綜上所述,ON3-6333+3.

練習冊系列答案
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2)如圖2,若點E與點A重合,且P為邊BC的中點,求證:CM=2CP

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請根據(jù)閱讀材料,解決下列問題:

如圖,直線CD是等邊ABC的對稱軸,點DAB上,點E是線段CD上的一動點(點E不與點C、D重合),連結AE、BE,ABE經順時針旋轉后與BCF重合.

1)旋轉中心是點   ,旋轉了   (度);

2)當點E從點D向點C移動時,連結AF,設AFCD交于點P,在圖中將圖形補全,并探究APC的大小是否保持不變?若不變,請求出APC的度數(shù);若改變,請說出變化情況.

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【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線于對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.

1)如圖1,在ABC中,CD為角平分線,∠A=40°B=60°,求證:CDABC的完美分割線.

2)在ABC中,∠A=48°,CDABC的完美分割線,且ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù).

3)如圖2,ABC中,AC=2,BC=,CDABC的完美分割線,且ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.

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