【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦CD與直徑AB相交于點F.點E在⊙O外,做直線AE,且∠EAC=∠D
(1)求證:直線AE是⊙O的切線.
(2)若∠BAC=30°,BC=4,cos∠BAD= ,CF= ,求BF的長.

【答案】
(1)證明:連接BD,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,

即∠ADC+∠CDB=90°,

∵∠EAC=∠ADC,∠CDB=∠BAC,

∴∠EAC+∠BAC=90°,

即∠BAE=90°,

∴直線AE是⊙O的切線;


(2)解:∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

Rt△ACB中,∠BAC=30°,

∴AB=2BC=2×4=8,

由勾股定理得:AC= =4 ,

Rt△ADB中,cos∠BAD= = ,

∴AD=6,

∴BD= =2 ,

∵∠BDC=∠BAC,∠DFB=∠AFC,

∴△DFB∽△AFC,

,

,

∴BF=


【解析】(1)由直徑所對的圓周角是直角得:∠ADB=90°,則∠ADC+∠CDB=90°,所以∠EAC+∠BAC=90°,則直線AE是⊙O的切線;(2)分別計算AC和BD的長,證明△DFB∽△AFC,列比例式得: ,得出結(jié)論.
【考點精析】利用解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知解直角三角形的依據(jù):①邊的關系a2+b2=c2;②角的關系:A+B=90°;③邊角關系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)

練習冊系列答案
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、B兩種花草每棵的價格分別是多少元?

若再次購買AB兩種花草共12、B兩種花草價格不變,且A種花草的數(shù)量不少于B種花草的數(shù)量的4倍,請你給出一種費用最省的方案,并求出該方案所需費用.

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2)建立平面直角坐標系,描出以下三點A、B′C′,并求AB′C′的面積.

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