【題目】實踐操作
如圖1,將矩形紙片沿對角線翻折,使點落在矩形所在平面內(nèi),和相交于點,連接.
解決問題
(1)在圖1中,①和的位置關(guān)系為__________;②將剪下后展開,得到的圖形是_____;
(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r,如圖2所示,結(jié)論①和結(jié)論②是否成立,若成立,請?zhí)暨x其中的一個結(jié)論加以證明,若不成立,請說明理由;
拓展應(yīng)用
(3)小紅沿對角線折疊一張矩形紙片,發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對稱圖形,沿對稱軸再次折疊后,得到的仍是軸對稱圖形,則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為_________.
【答案】(1)①;②菱形;(2)成立,證明見解析;(3)或
【解析】
(1)①利用AAS定理求證△≌△CDE,從而得到DE=,CE=AE,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得,然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行即可判斷;
②根據(jù)菱形的判定方法即可解決問題;
(2)只要證明AE=EC,即可證明結(jié)論②成立;只要證明∠ADB′=∠DAC,即可推出B′D∥AC;
(3)①當(dāng)AB:AD=1:1時,符合題意.②當(dāng)AD:AB=時,也符合題意
解:(1)①由折疊性質(zhì)可知:,
又∵
∴△≌△CDE
∴DE=,CE=AE,
∴,
又∵
∴
∴;
②由①可知AE=CE,又由折疊性質(zhì)可知
將剪下后展開,得到的圖形是四條邊都相等的四邊形,
又∵∠AEC為鈍角
∴將剪下后展開,得到的圖形是菱形;
故答案為:;菱形;
(2)若選擇①證明如下,
四邊形是平行四邊形,
,
將沿翻折至,
,
,
,
,
,
,
若選擇②證明如下:
四邊形是平行四邊形,
,
,
將沿翻折至,
,
,
,
是等腰三角形;
將剪下后展開,得到的圖形四邊相等,
將剪下后展開,得到的圖形是菱形.
(3)如圖中,
①當(dāng)AB:AD=1:1時,四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠CAD=∠EAB′=45°,
∵AE=AE,∠B′=∠AFE=90°,
∴△AEB′≌△AEF(AAS),
∴AB′=AF,
此時四邊形AFEB′是軸對稱圖形,符合題意.
②當(dāng)AD:AB=時,也符合題意,
∵此時∠DAC=30°,
∴AC=2CD,
∴AF=FC=CD=AB=AB′,
∴此時四邊形AFEB′是軸對稱圖形,符合題意.
綜上所述,滿足條件的矩形紙片的長寬之比為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:兩個相似等腰三角形,如果它們的底角有一個公共的頂點,那么把這兩個三角形稱為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”.如圖,在與中, ,且所以稱與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”,設(shè)它們的頂角為,連接,則稱會為“關(guān)聯(lián)比".
下面是小穎探究“關(guān)聯(lián)比”與α之間的關(guān)系的思維過程,請閱讀后,解答下列問題:
[特例感知]
當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”,且時,
①在圖1中,若點落在上,則“關(guān)聯(lián)比”=
②在圖2中,探究與的關(guān)系,并求出“關(guān)聯(lián)比”的值.
[類比探究]
如圖3,
①當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”,且時,“關(guān)聯(lián)比”=
②猜想:當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”,且時,“關(guān)聯(lián)比”= (直接寫出結(jié)果,用含的式子表示)
[遷移運用]
如圖4, 與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”.若點為邊上一點,且,點為上一動點,求點自點運動至點時,點所經(jīng)過的路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)組織學(xué)生參加交通安全知識網(wǎng)絡(luò)測試活動.小華對九年(8)班全體學(xué)生的測試成績進行了統(tǒng)計,并將成績分為四個等級:優(yōu)秀、良好、一般、不合格,繪制成如下的統(tǒng)計圖(不完整),請你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:
(1)九年(8)班有______名學(xué)生,并把折線統(tǒng)計圖補充完整;
(2)已知該市共有名中學(xué)生參加了這次交通安全知識測試,請你根據(jù)該班成績估計該市在這次測試中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù);
(3)小華查了該市教育網(wǎng)站發(fā)現(xiàn),全市參加本次測試的學(xué)生中,成績?yōu)閮?yōu)秀的有人,請你用所學(xué)統(tǒng)計知識簡要說明實際優(yōu)秀人數(shù)與估計人數(shù)出現(xiàn)較大偏差的原因.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線交軸于點,交軸于點,若圖中陰影部分的三角形都是等腰直角三角形,則從左往右數(shù)第5個陰影三角形的面積是_____,第2019個陰影三角形的面積是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有甲種原料,乙種原料,現(xiàn)用兩種原料生產(chǎn)處兩種產(chǎn)品共件,已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品需甲種原料,乙種原料,且每件產(chǎn)品可獲得元;生產(chǎn)每件產(chǎn)品甲種原料,乙種原料,且每件產(chǎn)品可獲利潤元,設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品 件(產(chǎn)品件數(shù)為整數(shù)件),根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的方案有哪幾種?
(2)設(shè)生產(chǎn)這件產(chǎn)品可獲利元,寫出關(guān)于的函數(shù)解析式,寫出(1)中利潤最大的方案,并求出最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是正方形的對角線,,邊在其所在直線上向右平移,將通過平移得到的線段記為,連結(jié),,并過點作,垂足為,連接和,在平移變換過程中,設(shè)的面積為,,則的最大值是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y=與直線l:y=kx+b相交于點A,B,直線l與y軸交于點P.
(1)當(dāng)k=0時,求的值;
(2)點M是拋物線上的動點,過點M作MG⊥直線l于點G,當(dāng)k=0時,求的值;
(3)點M是拋物線上的動點,過點M作MG∥y軸交直線l于點G,當(dāng)k=2時,求證:不論b為何實數(shù),的值為定值,并求定值;
(4)若將(2)的拋物線改為“y=ax2”,其他條件不變,則的值還為定值嗎?若是,請求出定值;若不是,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,,點分別是邊的中點,連接.將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)時,____________;②當(dāng)時,___________.
(2)拓展探究試判斷:當(dāng)時,的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證明.
(3)問題解決
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至三點在同一條直線上時,直接寫出線段的長.
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