Question

【題目】如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的有理數(shù)分別為xA＝﹣5和xB＝6，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿?cái)?shù)軸在A，B之間往返運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿?cái)?shù)軸在B，A之間往返運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

(1)當(dāng)t＝2時，點(diǎn)P對應(yīng)的有理數(shù)xP＝______，PQ＝______；

(2)當(dāng)0＜t≤11時，若原點(diǎn)O恰好是線段PQ的中點(diǎn)，求t的值；

(3)我們把數(shù)軸上的整數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)第一次在整點(diǎn)處重合時，直接寫出此整點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)﹣3，5；(2)t＝1或7；(3)6.

【解析】

（1）先求出P,Q對應(yīng)的數(shù)，再求PQ的值；（2）結(jié)合數(shù)軸①當(dāng)0＜t＜5.5時，點(diǎn)Q運(yùn)動還未到點(diǎn)A，有AP＝t，BQ＝2t．此時OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．②當(dāng)5.5＜t≤11時，點(diǎn)P在數(shù)軸上原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)Q已經(jīng)沿射線BA方向運(yùn)動到點(diǎn)A后折返，要使原點(diǎn)O恰好是線段PQ的中點(diǎn)，點(diǎn)Q必須位于原點(diǎn)O左側(cè)；列出相應(yīng)方程即可；（3）分兩種情況求出t: ①當(dāng)0＜t＜5.5時，點(diǎn)Q運(yùn)動還未到點(diǎn)A，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)重合時，P與Q相遇；②當(dāng)5.5＜t≤11時，點(diǎn)P在數(shù)軸上原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)Q已經(jīng)沿射線BA方向運(yùn)動到點(diǎn)A后折返，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)重合時，點(diǎn)Q追上點(diǎn)P，AQ＝AP.

解：(1)當(dāng)t＝2時，點(diǎn)P對應(yīng)的有理數(shù)xP＝﹣5+1×2＝﹣3，

點(diǎn)Q對應(yīng)的有理數(shù)xQ＝6﹣2×2＝2，

∴PQ＝2﹣(﹣3)＝5．

故答案為﹣3，5；

(2)∵xA＝﹣5，xB＝6，

∴OA＝5，OB＝6．

由題意可知，當(dāng)0＜t≤11時，點(diǎn)P運(yùn)動的最遠(yuǎn)路徑為數(shù)軸上從點(diǎn)A到點(diǎn)B，點(diǎn)Q運(yùn)動的最遠(yuǎn)路徑為數(shù)軸上從點(diǎn)B到點(diǎn)A并且折返回到點(diǎn)B．

對于點(diǎn)P，因?yàn)樗�的運(yùn)動速度vP＝1，點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)O需要5秒，運(yùn)動到點(diǎn)B需要11秒．

對于點(diǎn)Q，因?yàn)樗�的運(yùn)動速度vQ＝2，點(diǎn)Q從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)O需要3秒，運(yùn)動到點(diǎn)A需要5.5秒，返回到點(diǎn)B需要11秒．

要使原點(diǎn)O恰好是線段PQ的中點(diǎn)，需要P，Q兩點(diǎn)分別在原點(diǎn)O的兩側(cè)，且OP＝OQ，此時t≠5.5．

①當(dāng)0＜t＜5.5時，點(diǎn)Q運(yùn)動還未到點(diǎn)A，有AP＝t，BQ＝2t．

此時OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．

∵原點(diǎn)O恰好是線段PQ的中點(diǎn)，

∴OP＝OQ，

∴|5﹣t|＝|6﹣2t|，

解得t＝1或t＝．

檢驗(yàn)：當(dāng)t＝時，P，Q兩點(diǎn)重合，且都在原點(diǎn)O左側(cè)，不合題意舍去；t＝1符合題意．

∴t＝1；

②當(dāng)5.5＜t≤11時，點(diǎn)P在數(shù)軸上原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)Q已經(jīng)沿射線BA方向運(yùn)動到點(diǎn)A后折返，要使原點(diǎn)O恰好是線段PQ的中點(diǎn)，點(diǎn)Q必須位于原點(diǎn)O左側(cè)，此時P，Q兩點(diǎn)的大致位置如下圖所示．

此時，OP＝AP﹣OA＝t﹣5，OQ＝OA﹣AQ＝5﹣2(t﹣5.5)＝16﹣2t．

∵原點(diǎn)O恰好是線段PQ的中點(diǎn)，

∴OP＝OQ，

∴t﹣5＝16﹣2t，

解得t＝7．

檢驗(yàn)：當(dāng)t＝7時符合題意．

∴t＝7．

綜上可知，t＝1或7；

(3)①當(dāng)0＜t＜5.5時，點(diǎn)Q運(yùn)動還未到點(diǎn)A，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)重合時，P與Q相遇，此時需要的時間為：秒，

相遇點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為﹣5+＝﹣，不是整點(diǎn)，不合題意舍去；

②當(dāng)5.5＜t≤11時，點(diǎn)P在數(shù)軸上原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)Q已經(jīng)沿射線BA方向運(yùn)動到點(diǎn)A后折返，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)重合時，點(diǎn)Q追上點(diǎn)P，AQ＝AP，

2(t﹣5.5)＝t，解得t＝11，

追擊點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為﹣5+11＝6．

故當(dāng)P，Q兩點(diǎn)第一次在整點(diǎn)處重合時，此整點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為6．