【題目】如圖,已知拋物線y= (x+2)(x﹣4)與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D,M為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)N(﹣2,n),求使MN+BN的值最小時(shí)n的值;
(3)P是拋物線上一點(diǎn),請(qǐng)你探究:是否存在點(diǎn)P,使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似(△PAB與△ABD不重合)?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:令y=0得x1=﹣2,x2=4,
∴點(diǎn)A(﹣2,0)、B(4,0)
令x=0得y=﹣ ,
∴點(diǎn)C(0,﹣ )
(2)
解:將x=1代入拋物線的解析式得y=﹣
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣ )
∴點(diǎn)M關(guān)于直線x=﹣2的對(duì)稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(﹣5, )
設(shè)直線M′B的解析式為y=kx+b
將點(diǎn)M′、B的坐標(biāo)代入得:
解得:
所以直線M′B的解析式為y= .
將x=﹣2代入得:y=﹣ ,
所以n=﹣
(3)
解:過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA,垂足為E.
由勾股定理得:
AD= =3 ,
BD= ,
如下圖,①當(dāng)P1AB∽△ADB時(shí),
即:
∴P1B=6
過(guò)點(diǎn)P1作P1M1⊥AB,垂足為M1.
∴ 即:
解得:P1M1=6 ,
∵ 即:
解得:BM1=12
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(﹣8,6 )
∵點(diǎn)P1不在拋物線上,所以此種情況不存在;
②當(dāng)△P2AB∽△BDA時(shí), 即:
∴P2B=6
過(guò)點(diǎn)P2作P2M2⊥AB,垂足為M2.
∴ ,即:
∴P2M2=2
∵ ,即:
∴M2B=8
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(﹣4,2 )
將x=﹣4代入拋物線的解析式得:y=2 ,
∴點(diǎn)P2在拋物線上.
由拋物線的對(duì)稱性可知:點(diǎn)P2與點(diǎn)P4關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
∴P4的坐標(biāo)為(6,2 ),
當(dāng)點(diǎn)P3位于點(diǎn)C處時(shí),兩三角形全等,所以點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(0,﹣ ),
綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(﹣4,2 )或(6,2 )或(0,﹣ )時(shí),以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似
【解析】(1)令y=0可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo),令x=0可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo);(2)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作M點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣2的對(duì)稱點(diǎn)M′,當(dāng)N(﹣2,N)在直線M′B上時(shí),MN+BN的值最小;(3)需要分類討論:△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長(zhǎng)度,然后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),AC=2AB,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,作AF∥BC,連接DE并延長(zhǎng)交AF于點(diǎn)F,連接FC.
求證:四邊形ADCF是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的頂點(diǎn)D、F分別在AC、BC邊上,設(shè)CD的長(zhǎng)度為x,△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形)ABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(﹣4,5),(﹣1,3).
(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系;
(2)請(qǐng)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′;
(3)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為 .
(4)△ABC的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,且∠CBF= ∠CAB.
(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
(2)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作射線AE,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G,連接FD并延長(zhǎng),交BG于點(diǎn)H.
(1)求證:DF=DH;
(2)若∠CFD=120°,求證:△DHG為等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】潮州旅游文化節(jié)開(kāi)幕前,某鳳凰茶葉公司預(yù)測(cè)今年鳳凰茶葉能夠暢銷,就用32000元購(gòu)進(jìn)了一批鳳凰茶葉,上市后很快脫銷,茶葉公司又用68000元購(gòu)進(jìn)第二批鳳凰茶葉,所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍,但每千克鳳凰茶葉進(jìn)價(jià)多了10元.
(1)該鳳凰茶葉公司兩次共購(gòu)進(jìn)這種鳳凰茶葉多少千克?
(2)如果這兩批茶葉每千克的售價(jià)相同,且全部售完后總利潤(rùn)率不低于20%,那么每千克售價(jià)至少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△OAB中,OA=OB,C為AB中點(diǎn),以O(shè)圓心,OC長(zhǎng)為半徑作圓,AO與⊙O交于點(diǎn)E,直線OB與⊙O交于點(diǎn)F和D,連接EF、CF,CF與OA交于點(diǎn)G.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)求證:OD·EG=OG·EF;
(3)若AB=8,BD=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A( ,0),B(3 ,0),以AB為直徑的⊙G交y軸于C,D兩點(diǎn).
(1)填空:請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙G的半徑r,圓心G的坐標(biāo):r=;G( , ).
(2)如圖2,直線y= 與x、y軸分別交于F、E兩點(diǎn),且經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)T( ,m),求證:直線EF是⊙G的切線;
(3)在(2)的條件下,如圖3,點(diǎn)M是⊙G優(yōu)弧 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包括A、T兩點(diǎn)),連接AT、CM、TM,CM交AT于點(diǎn)N,試問(wèn),是否存在一個(gè)常數(shù)k,始終滿足CN·CM=k?如果存在,請(qǐng)求出k的值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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