Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（ ，0），B（3 ，0），以AB為直徑的⊙G交y軸于C，D兩點(diǎn).

（1）填空：請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙G的半徑r，圓心G的坐標(biāo)：r=；G（ ， ）.
（2）如圖2，直線y= 與x、y軸分別交于F、E兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)T（ ，m），求證：直線EF是⊙G的切線；
（3）在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)M是⊙G優(yōu)弧 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括A、T兩點(diǎn)），連接AT、CM、TM，CM交AT于點(diǎn)N，試問(wèn)，是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿足CN·CM=k？如果存在，請(qǐng)求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）；；0
（2）

解：如圖，連接GT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥x軸于點(diǎn)H，直線y= 與x、y軸交于E、F兩點(diǎn)，則易知：E（0,5），F(xiàn)（5 ，0），

∵直線EF：y= 過(guò)點(diǎn)T（2 ，m），則

m= +5=3，∴T（2 ，3），

故TH=3，GH= ，HF=3 ，

在Rt△GHT中，有GT=r=2 ，

∴GH= GT，∴∠GTH=30°，

在在Rt△THF中，有tan∠FTH= = ，∴∠FTH=60°，

故∠GTF=∠GTH+∠FTH=30°+60°=90°，∴GT⊥EF，

∴直線EF是⊙G的切線.

（3）

解：存在.如圖，連接 CG、CT、GT，在Rt△COG中，

在Rt△COG中，OG= ，CG=r=2 ，

∴OC=3，∠CGO=60°，

由于C（0,3），T（2 ，3），故CT//x軸，

∴CT=2 ,

即CT=CG=GT=2 ，

∴△CGT是等邊三角形，

∴∠CGT=∠TCG=∠CGA=60°，

∴∠CTA= ∠CGA=30°.

∴∠CTA=∠CMT，

在△CNT和△CTM中，∠TCA=∠MCT，∠CTN=∠CMT，

∴△CNT~△CTM，

∴ ，

∴CN·CM=CT2=（2 ）2=12，

故存在一個(gè)常數(shù)12，始終范圍CN·CM=12，即：k=12.

【解析】解：（1）∵A（ ，0），B（3 ，0），
∴AB=3 -（ ）=4 ；
則r= AB= ，OG= - = ，則G（ ，0）.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圓的定義和圓心角、弧、弦的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓．定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半才能正確解答此題．