Question

如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點(diǎn)O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．

（1）求拋物線的解析式．
（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）

Answer 1

（1）y=x²-3x
（2）m=4 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-2）
（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-）和（，）

（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案即可；
（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進(jìn)而將二次函數(shù)以一次函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)即可；
（3）首先求出直線A′B的解析式，進(jìn)而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進(jìn)而求出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，再利用翻折變換的性質(zhì)得出另一點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．

解得：

故拋物線的解析式為：y=x²-3x；
（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x（ k₁≠0），
由點(diǎn)B（4，4）得
4="4" k₁，
解得k₁=1．
∴直線OB的解析式為y=x，∠AOB=45°．
∵B（4，4），
∴點(diǎn)B向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以平移后的一次函數(shù)的解析式為：y=x-m。
又因?yàn)槠揭坪蟮闹本�與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)D，
所以x²-3x=x-m，化簡(jiǎn)得，x²-4x+m=0，只有一個(gè)解，Δ=0.
Δ=4²-4m=0，
故m=4．
∴平移m個(gè)單位長(zhǎng)度的直線為y=x-4．
解方程組
解得：

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-2）．
（3）∵直線OB的解析式y(tǒng)=x，且A（3，0）．
∵點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線A′B的解析式為y=k₂x+3，此直線過(guò)點(diǎn)B（4，4）．
∴4k₂+3=4，
解得 k₂=．
∴直線A′B的解析式為y=x+3．
∵∠NBO=∠ABO，∴點(diǎn)N在直線A′B上，
設(shè)點(diǎn)N（n，n+3），又點(diǎn)N在拋物線y=x²-3x上，
∴n+3=n²-3n．
解得 n₁=-，n₂=4（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-，）．
如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則 N₁（-，-），B₁（4，-4）．
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
過(guò)D點(diǎn)做DP₁∥N₁B₁，
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁為O N₁的中點(diǎn)．
∴==，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-，-）．
將△P₁OD沿直線y=-x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)到x軸距離等于P₁到y(tǒng)軸距離，點(diǎn)到y(tǒng)軸距離等于P₁到x軸距離，
∴此點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-）和（，）．