Question

【題目】如圖1，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，CD⊥AB于D，E是BA廷長線上一點，連接CE，∠ACE＝∠ACD，K是線段AO上一點，連接CK并延長交⊙O于點F．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若AD＝DK，求證：AKAO＝KBAE；

（3）如圖2，若AE＝AK，，點G是BC的中點，AG與CF交于點P，連接BP．請猜想PA，PB，PF的數(shù)量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）PA2+PF2＝PB2，證明詳見解析．

【解析】

（1）連接OC，先由證明∠CAD＝∠ACO，再由∠ACE＝∠ACD，可證得∠ECO＝90°，即可證明；

（2）先證得∠ACE＝∠B，∠CAE＝∠BKC，說明△CAE∽△BKC，利用相似三角形的性質推得ACKC＝AEKB，再由∠CAD＝∠CKD，∠CAD＝∠OCA，判定△OCA∽△CAK，利用相似三角形的性質推得ACKC＝AKAO，從而可得結論；

（3）結論：PA2+PF2＝PB2．連接AF、BF，先證得∠ACE＝∠CBE，∠E＝∠E，從而△EAC∽△ECB，由相似三角形的性質推得BC＝2AC，再設AC＝CG＝GB＝x，則AG＝，從而，結合∠PGB＝∠BGA，可得△PGB∽△BGA，進而推得BP＝BF＝AF，然后運用勾股定理證即可得到結論．

解：（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵CD⊥AB，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠CAD＝∠ACO，

又∵∠ACE＝∠ACD，

∴∠ACE+∠ACO＝90°，即∠ECO＝90°，

∴CE是⊙O的切線；

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠B＝90°，

又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠B，

∴∠ACE＝∠B，

∵AD＝DK，CD⊥AB，

∴CA＝CK，∠CAD＝∠CKD，

∴∠CAE＝∠BKC，

∴△CAE∽△BKC，

∴，

∴ACKC＝AEKB，

又∵∠CAD＝∠CKD，∠CAD＝∠OCA，

∴△OCA∽△CAK，

∴

∴ACKC＝AKAO，

∴AKAO＝KBAE；

（3）PA2+PF2＝PB2．理由如下：

如圖，連接AF、BF，

∵，

∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，AF＝BF，

∴∠ECK＝∠ACK+∠ACE＝45°+∠ACE，∠EKC＝∠BCK+∠KBC＝45°+∠ABC，

∴∠ECK＝∠EKC，

∴EC＝EK＝AE+EK＝2AE，

∵∠ACE＝∠CBE，∠E＝∠E，

∴△EAC∽△ECB，

∴，

∴BC＝2AC，

∵點G是BC的中點，

∴BC＝2CG＝2GB，

∴AC＝CG，∠ACF＝∠BCF，

∴CP⊥AG，AP＝PG，

設AC＝CG＝GB＝x，

則AG＝，

∴，

又∠PGB＝∠BGA，

∴△PGB∽△BGA，

∴∠GBP＝∠GAB，

∴∠GBP+∠BCF＝∠GAB+∠GAC，

即∠BPF＝∠BAC＝∠BFP，

∴BP＝BF＝AF，

∵在Rt△APF中，PA2+PF2＝AF2，

∴PA2+PF2＝PB2．