Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC．

（1）求證：DE垂直AC；

（2）求證：△ABE≌△CBD；

（3）若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）75°．

【解析】

（1）延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)H,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得: ∠BAC=45°,∠BDE=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠DHA=90°,即可求證;

（2）由已知條件根據(jù)SAS容易證明△ABE≌△CBD；

（3）由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定∠BDC的度數(shù).

（1）延長(zhǎng)DE交AC于一點(diǎn)H,

∵∠ABC=90°，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

∴∠ABE=∠CBD=90°,

∵AB=BC,BE=BD,

∴∠BAC=45°,∠BDE=45°，

即∠DAH=45°,∠ADH=45°，

∴∠DHA=90°,

∴DE⊥AC.

（2）證明：∵∠ABC=90°，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∴∠ABE=∠CBD=90°．在△ABE和△CBD中．

,

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

（3）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°．

∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°．

∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°﹣∠BCD=90°﹣15°=75°.