Question

【題目】如圖①，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B(4，0)，與y軸交于點C(0，4)．

（1）求出拋物線的函數(shù)表達式．

（2）拋物線上是否存在一點P，使得S△OBC=4S△AOP，若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖②，點D為線段BC上一動點，過點D作DE∥y軸交拋物線于點E，求線段DE長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）點P坐標(0，4)或(3，4)，或(，﹣4)或(，﹣4)；（3）DE的最大值為4．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法將點B,C代入即可求出拋物線的表達式；

（2）先利用拋物線的表達式求出點A的坐標，進而可求出OA,OB,OC的長度，然后利用面積之間的關(guān)系求出點P的縱坐標，再將P的縱坐標代入拋物線的表達式中求出橫坐標即可；

（3）先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后表示出先對DE的長度，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可．

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B(4，0)，與y軸交于點C(0，4)，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為：y=﹣x2+3x+4；

（2）∵y=﹣x2+3x+4與x軸交于點A和點B(4，0)，

∴0=﹣x2+3x+4，

∴x1=4，x2=﹣1，

∴點A(﹣1，0)，且點B(4，0)，點C(0，4)，

∴AO=1，BO=CO=4，

設(shè)點P(x，y)

∵S△OBC=4S△AOP，

∴OB×OC=4AO×|y|，

∴|y|=4，

∴y=±4，

當y=4時，4=﹣x2+3x+4，

∴x1=0，x2=3，

∴點P坐標(0，4)或(3，4)，

當y=﹣4時，﹣4=﹣x2+3x+4，

∴x3，x4，

∴點P坐標(，﹣4)或(，﹣4)，

綜上所述，點P的坐標為(0，4)或(3，4) 或(，﹣4)或(，﹣4)

（3）設(shè)直線BC的解析式為

將點B(4，0)， C(0，4)代入解析式中得，

解得

∴直線BC解析式為：y=﹣x+4，

設(shè)點E(a，﹣a2+3a+4)，則點D(a，﹣a+4)，

∴DE=﹣a2+3a+4﹣(﹣a+4)=﹣(a﹣2)2+4，

當a=2時，DE的最大值為4．