Question

【題目】如圖1，△ABC～△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，

（1）如圖1，求證：△ABD∽△ACE

（2）如圖2，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，判斷四邊形ADCE的形狀，并證明．

（3）當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，設(shè)P為線段DE的中點(diǎn)，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求CP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ADCE是矩形，見解析；（3）4

【解析】

（1）先判斷出∠BAD＝∠CAE，再判斷出，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出∠ADB＝90°，根據(jù)相似判斷出∠AEC＝90°，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出CP最小時(shí)，AD最小，再根據(jù)直角三角形的面積的計(jì)算方法求出AD的最小值，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵△ABC～△ADE，

∴，

∴△ABD∽△ACE；

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

由（1）知△ABD∽△ACE，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∵∠DAE＝90°，

∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°，

∴四邊形ADCE是矩形；

（3）如圖1，

連接CP，

在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，根據(jù)勾股定理得，BC＝10，

∵△ABC∽△ADE，

∴，

∴DE＝＝AD＝AD，

由（1）知，△ABD∽△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABD+∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABD＝90°，

∴CP＝DE，

∵DE＝AD，

∴CP＝×AD＝AD，

要CP最小，則AD最小，

即：當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，

∵S△ABC＝ABAC＝BCAD最小，

∴AD最小＝，

即：CP最小＝AD最小＝×＝4，

即CP的最小值為4．