【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(﹣3,0)、B(5,0)、C(0,5)三點,O為坐標原點

(1)求此拋物線的解析式;

(2)若把拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移個單位長度,再向右平移n(n>0)個單位長度得到新拋物線,若新拋物線的頂點M在△ABC內,求n的取值范圍;

(3)設點P在y軸上,且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA,求CP的長.

【答案】(1)y=﹣x2+x+5;(2)0<n<3;(3)PC的長為7或17.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)A、B、C三點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式即可;(2)可先求得拋物線的頂點坐標,再利用坐標平移,可得平移后的坐標為(1+n,1),再由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式,可求得y=1時,對應的x的值,從而可求得n的取值范圍;(3)當點P在y軸負半軸上和在y軸正半軸上兩種情況,根據(jù)這兩種情況分別求得PC的長即可.

試題解析:(1)把A、B、C三點的坐標代入函數(shù)解析式可得

解得,

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+5;

(2)∵y=﹣x2+x+5,

∴拋物線頂點坐標為(1,),

∴當拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移個單位長度,再向右平移n(n>0)個單位長度后,得到的新拋物線的頂點M坐標為(1+n,1),

設直線BC解析式為y=kx+m,把B、C兩點坐標代入可得,解得,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+5,

令y=1,代入可得1=﹣x+5,解得x=4,

∵新拋物線的頂點M在△ABC內,

∴1+n<4,且n>0,解得0<n<3,

即n的取值范圍為0<n<3;

(3)當點P在y軸負半軸上時,如圖1,過P作PD⊥AC,交AC的延長線于點D,

由題意可知OB=OC=5,

∴∠CBA=45°,

∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°,

∴AD=PD,

在Rt△OAC中,OA=3,OC=5,可求得AC=,

設PD=AD=m,則CD=AC+AD=+m,

∵∠ACO=∠PCD,∠COA=∠PDC,

∴△COA∽△CDP,

,即,

得m=,PC=17;

可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12,

如圖2,在y軸正半軸上截取OP′=OP=12,連接AP′,

則∠OP′A=∠OPA,

∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA,

∴P′也滿足題目條件,此時P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7,

綜上可知PC的長為7或17.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】觀察下列關于自然數(shù)的等式:

2×0+1=12,

4×2+1=32

8×6+1=72,

16×14+1=152,

根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題:

(1)完成第五個等式:32×   +1=   ;

(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示),并驗證其正確性.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知點P(a,3)在一次函數(shù)y=x+1的圖像上,則a=

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】(2016湖北襄陽第25題)

如圖,已知點A的坐標為(-2,0),直線y=-+3與x軸,y軸分別交于點B和點C,連接AC,頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A,B,C三點.

(1)請直接寫出B,C兩點的坐標,拋物線的解析式及頂點D的坐標;

(2)設拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P為第一象限內拋物線上一點,過點P作x軸的垂線,交線段BC于點F若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標;

(3)M是線段BC上的一動點,過點M作MNAB,交AC于點N.Q從點B出發(fā),以每秒l個單位長度的速度沿線段BA向點A運動,運動時間為t(秒).當t(秒)為何值時,存在QMN為等腰直角三角形?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一元二次方程x2﹣4x=12的根是(
A.x1=2,x2=﹣6
B.x1=﹣2,x2=6
C.x1=﹣2,x2=﹣6
D.x1=2,x2=6

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】“367 人中有 2 人同月同日生這一事件是(

A. 隨機事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 確定事件

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列一元二次方程中有兩個相等實數(shù)根的是(
A.2x2﹣6x+1=0
B.3x2﹣x﹣5=0
C.x2+x=0
D.x2﹣4x+4=0

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校在民族團結宣傳活動中,采用了四種宣傳形式:A唱歌,B舞蹈,C朗誦,D器樂.全校的每名學生都選擇了一種宣傳形式參與了活動,小明對同學們選用的宣傳形式,進行了隨機抽樣調查,根據(jù)調查統(tǒng)計結果,繪制了如圖兩種不完整的統(tǒng)計圖表:

選項

方式

百分比

A

唱歌

35%

B

舞蹈

a

C

朗誦

25%

D

器樂

30%

請結合統(tǒng)計圖表,回答下列問題:

(1)本次調查的學生共 人,a= ,并將條形統(tǒng)計圖補充完整;

(2)如果該校學生有2000人,請你估計該校喜歡“唱歌”這種宣傳形式的學生約有多少人?

(3)學校采用調查方式讓每班在A、B、C、D四種宣傳形式中,隨機抽取兩種進行展示,請用樹狀圖或列表法,求某班抽到的兩種形式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,則平行四邊形ABCD的周長是 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案