Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的兩個圖形M和N，給出如下定義：若在圖形M上存在一點A，圖形N上存在兩點B，C，使得△ABC是以BC為斜邊且BC＝2的等腰直角三角形，則稱圖形M與圖形N具有關(guān)系φ（M，N）．

（1）若圖形X為一個點，圖形Y為直線y＝x，圖形X與圖形Y具有關(guān)系φ（X，Y），則點，P2（1，1），P3（2，﹣2）中可以是圖形X的是　　；

（2）已知點P（2，0），點Q（0，2），記線段PQ為圖形X．

①當圖形Y為直線y＝x時，判斷圖形X與圖形Y是否既具有關(guān)系φ（X，Y）又具有關(guān)系φ（Y，X），如果是，請分別求出圖形X與圖形Y中所有點A的坐標；如果不是，請說明理由；

②當圖形Y為以T（t，0）為圓心，為半徑的⊙T時，若圖形X與圖形Y具有關(guān)系φ（X，Y），求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①是；②或．

【解析】

（1）逐個點進行驗證判斷是否符合新定義的要求，要緊扣“使得△ABC是以BC為斜邊且BC＝2的等腰直角三角形”；

（2）①按照新定義和條件正確畫出圖形，結(jié)合圖形進行求解；②分別找出t的最大值和最小值．

解：（1）P1；如圖1，過P1作P1I⊥y軸交直線y＝x于點C1，作P1B1⊥x軸于B1（B1與O重合），

∵P1（0，），

∴P1O＝，

將y＝代入y＝x中，得x＝

∴C1（，），即：C1P1＝B1P1＝

∴＝ ＝2

∴P1（0，）與圖形Y（直線y＝x）具有關(guān)系φ（X，Y）；

∵P2（1，1）在直線y＝x上，

∴P2（1，1）與圖形Y（直線y＝x）不具有關(guān)系φ（X，Y）；

∵P3（2，﹣2）

∴B3（﹣2，﹣2），C3（2，2），

∴B3C3＝＝4

∴P3（2，﹣2）與圖形Y（直線y＝x）不具有關(guān)系φ（X，Y）；

故答案為P1（0，）

（2）①是，

如圖2，在直線y＝x上取點B，C，且BC＝2，則滿足△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形的點A，在到直線y＝x距離為1的兩條平行直線上．這兩條平行直線與PQ分別交于A1，A2兩點．故圖形X與圖形Y滿足φ（X，Y）．

直線y＝x與線段PQ交于點M（1，1），過點M作MH⊥y軸于H，與A1B交于點N，則MA1＝1，，可得A1（，）．同理可求得A2（，）．

如圖3，在線段PQ上取點B，C，且BC＝2，則滿足△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形的點A在圖中的兩條線段上，這兩條線段與直線y＝x交于A3，A4兩點．故圖形X與圖形Y滿足φ（Y，X）．

同上可求得A3（，），A4（，）．

②如圖3，當△QB1C1為等腰直角三角形，且斜邊B1C1＝2時，連接QT1交B1C1于S，

則QS＝B1S＝C1S＝1，B1T1＝，

∴T1S＝2，T1Q＝2+1＝3

∴T1O＝＝

∴T1（﹣，0），

同理可求得：T2（﹣1，0），T3（2﹣，0），T4（5，0），

∴或