Question

【題目】在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明將邊長為2的正方形與邊長為的正方形按如圖1方式放置，與在同一條直線上，與在同一條直線上．

（1）請你猜想與之間的數(shù)量與位置關(guān)系，并加以證明；

（2）在圖2中，若將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，求出的長；

（3）在圖3中，若將正方形繞點(diǎn)繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且線段與線段相交于點(diǎn)，寫出與面積之和的最大值，并簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，其理由見解析；（2）；（3）6

【解析】

（1）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得∠AGD=∠AEB，如圖1所示，延長EB交DG于點(diǎn)H，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，利用垂直的定義即可得DG⊥BE；

（2）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到DG=BE，如圖2，連接交于，則=°=，在Rt△AMD中，求出AO的長，即為DO的長，根據(jù)勾股定理求出GO的長，進(jìn)而確定出DG的長，即為BE的長；

（3）△GHE和△BHD面積之和的最大值為6，理由為：對于△EGH，點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上，即當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△EGH的高最大；對于△BDH，點(diǎn)H在以BD為直徑的圓上，即當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△BDH的高最大，即可確定出面積的最大值．

（1）

證明：，，其理由是：

在正方形和正方形中，

有，，，

∴≌，∴，，

∵，∴

延長交于，則，

∴.

（2）

解：在正方形和正方形中，

有，，，

∴

∴≌，∴

連接交于，則，

∴，，

∴

∴

（3）

與面積之和的最大值為6，其理由是：

對于，長一定，當(dāng)到的長度最大時(shí)，的面積最大，由（1）（2）)△GHE和△BHD面積之和的最大值為6，理由為：

對于△EGH，點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上，

∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△EGH的高最大；

對于△BDH，點(diǎn)H在以BD為直徑的圓上，

∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△BDH的高最大，

則△GHE和△BHD面積之和的最大值為2+4=6.