【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,直線y=x+3交x軸于A點,交y軸于B點,過A、B兩點的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于另一點C,點D是拋物線的頂點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點P是直線AB上方的拋物線上一點,(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線交x軸于點H,交直線AB于點F,作PG⊥AB于點G.求出△PFG的周長最大值;
(3)在拋物線y=﹣x2+bx+c上是否存在除點D以外的點M,使得△ABM與△ABD的面積相等?若存在,請求出此時點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2),(3)M1(﹣2,3),M2(,),M3(,).
【解析】試題分析:(1)將已知點的坐標代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可;
(2)首先根據(jù)△PFG是等腰直角三角形,設P(m,-m2-2m+3)得到F(m,m+3),進而得到PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m,從而得到△PFG周長為:-m2-3m+(-m2-3m),配方后即可確定其最大值;
(3)當DM1∥AB,M3M2∥AB,且與AB距離相等時,根據(jù)同底等高可以確定△ABM與△ABD的面積相等,分別求得直線DM1解析式為:y=x+5和直線M3M2解析式為:y=x+1,聯(lián)立之后求得交點坐標即可.
試題解析:(1)∵直線AB:y=x+3與坐標軸交于A(-3,0)、B(0,3),
代入拋物線解析式y=-x2+bx+c中,得:
,
∴
∴拋物線解析式為:y=-x2-2x+3;
(2)∵由題意可知△PFG是等腰直角三角形,
設P(m,-m2-2m+3),
∴F(m,m+3),
∴PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m,
△PFG周長為:-m2-3m+(-m2-3m),
=-(+1)(m+)2+,
∴△PFG周長的最大值為:.
(3)點M有三個位置,如圖所示的M1、M2、M3,都能使△ABM的面積等于△ABD的面積.
此時DM1∥AB,M3M2∥AB,且與AB距離相等,
∵D(-1,4),
∴E(-1,2)、則N(-1,0)
∵y=x+3中,k=1,
∴直線DM1解析式為:y=x+5,
直線M3M2解析式為:y=x+1,
∴x+5=-x2-2x+3或x+1=-x2-2x+3,
∴x1=-1,x2=-2,x3=,x4=,
∴M1(-2,3),M2(,),M3(,).
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2AD,BE平分∠ABC交CD于點E,作BF⊥AD,垂足為F,連接EF,小明得到三個結(jié)論:①∠FBC=90°;②ED=EB;③S△EBF=S△EDF+S△EBC;則三個結(jié)論中一定成立的是_____.
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【題目】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,P是BC邊上一動點(點P不與B、C重合),將△ABP沿直線AP翻折,點B落在點E處;在CD上有一點M,使得將△CMP沿直線MP翻折后,點C落在直線PE上的點F處,直線PE交CD于點N,連接MA、NA,則以下結(jié)論:①△CMP∽△BPA;②四邊形AMCB的面積最大值為2.5;③△ADN≌△AEN;④線段AM的最小值為2.5;⑤當P為BC中點時,AE為線段NP的中垂線.正確的有_____(只填序號)
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【題目】某自行車廠計劃平均每天生產(chǎn)200輛,但是由于種種原因,實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入。表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)記為正,減產(chǎn)記為負):
(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠星期三生產(chǎn)自行車多少輛?
(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)自行車多少輛?
(3)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠本周實際共生產(chǎn)自行車多少輛?
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【題目】如圖,一段拋物線y=﹣x(x﹣5)(0≤x≤5),記為C1,它與x軸交于點O,A1;將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2,交x軸于點A2;將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x軸于點A3;…如此進行下去,得到一“波浪線”,若點P(2018,m)在此“波浪線”上,則m的值為_____.
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【題目】在體育活動課中,體育老師隨機抽取了九年級甲、乙兩班部分學生進行某體育項目的測試,并對成績進行統(tǒng)計分析,繪制了頻數(shù)分布表,請你根據(jù)表中的信息完成下列問題:
(1)頻數(shù)分布表中a= ,b= ;
(2)如果該校九年級共有學生900人,估計該校該體育項目的成績?yōu)榱己蛢?yōu)的學生有多少人?
(3)已知第一組中有兩個甲班學生,第二組中只有一個乙班學生,老師隨機從這兩個組中各選一名學生對體育活動課提出建議,則所選兩人正好是甲班和乙班各一人的概率是多少?
分 組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第一組(不及格) | 3 | 0.15 |
第二組(中) | b | 0.20 |
第三組(良) | 7 | 0.35 |
第四組(優(yōu)) | 6 | a |
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【題目】已知如圖,△ADC和△BDE均為等腰三角形,∠CAD=∠DBE,AC=AD,BD=BE,連接CE,點G為CE的中點,過點E作AC的平行線與線段AG延長線交于點F.
(1)當A,D,B三點在同一直線上時(如圖1),求證:G為AF的中點;
(2)將圖1中△BDE繞點D旋轉(zhuǎn)到圖2位置時,點A,D,G,F(xiàn)在同一直線上,點H在線段AF的延長線上,且EF=EH,連接AB,BH,試判斷△ABH的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,△ABC為任意三角形,以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△ACE,連接CD、BE并相交于點P.求證:
(1)CD=BE;
(2)∠BPC=120°.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O,過點O作EF∥AB交BC于點F,交AC于點E,過點O作OD⊥BC于D,下列四個結(jié)論:①∠AOB=90°+∠C;②AE+BF=EF;③當∠C=90°時,E、F分別是AC、BC的中點;④若OD=CE+CF=則S△CEF=,其中正確的是______________
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