【題目】在平面直角坐標系中,四邊形為正方形,點的坐標為,動點沿邊以每秒的速度運動,同時動點沿邊以同樣的速度運動,連接、交于點.

1)試探索線段、的關(guān)系,寫出你的結(jié)論并說明理由;

2)連接、,分別取、、、的中點、、,則四邊形是什么特殊平行四邊形?請在圖①中補全圖形,并說明理由.

3)如圖②當點運動到中點時,點是直線上任意一點,點是平面內(nèi)任意一點,是否存在點使以、、、為頂點的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1AF=DEAFDE,理由詳見解析;(2)四邊形HIJK為正方形,理由詳見解析;(3N的坐標為(2,-1),(,),(,),(,).

【解析】

1)用SAS證明DAEAOF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=AF,∠ADE=OAF.根據(jù)等式的性質(zhì)得到∠AGD=90°,從而得到AFDE

2)根據(jù)三角形中位線定理得到IH=KJ=AF,IHKJ,得到四邊形HIJK為平行四邊形,同理IJ=DE,IJDE,從而得到IJ=IH,IJIH,即可證明HIJK為正方形.

3)要求O、CM、N四點構(gòu)成菱形,OC為唯一已知線段,對OC的角色進行討論:OC為對角線或OC為邊.

OC為對角線時,此時MN也為對角線,MN垂直平分OC,則MOC中垂線與直線EC交點,可得M1的坐標,由對稱可得此時N1的坐標.

OC為邊時,考慮M的位置,MO相鄰或者與C相鄰.

Ⅰ.若MC相鄰,CM=CO=4,此時以C為圓心,OC長為半徑作圓與直線EC交點即為M2M3,過M2M2POC于點P,得到OEPM2,即有OECPM2C.根據(jù)相似三角形的對應邊成比例,即可求出PM2PC的長,進而得到OP的長.由N2M2OC,N2M2=OC,即可得到N2的坐標,由N3N2關(guān)于原點對稱,可得N3的坐標;

Ⅱ.若MO相鄰,OM=OC=4此時以O為圓心,OC長為半徑作圓與直線EC交點即為M4.求出直線EC的解析式,則可得出M4的坐標,由OM4=4,解方程即可得出M4的坐標,從而得出N4的坐標.

1AF=DE,AFDE.理由如下:

EF速度相等,∴AE=OF

OADC是正方形,∴AD=OA,∠DAE=AOF=90°,∴DAEAOFSAS),∴DE=AF,∠ADE=OAF

∵∠OAF+DAF=90°,∴∠ADE+DAF=90°,∴∠AGD=90°,∴AFDE,∴AF=DEAFDE

2)四邊形HIJK為正方形.理由如下:

由(1)知:AF=DE,AFDE

HIAEF的中位線、JKAFD的中位線,∴IH=AF,IHAF,KJ=AFKJAF,∴IH=KJIHKJ,∴四邊形HIJK為平行四邊形,同理IJ=DE,IJDE

AF=DE,AFDE,∴IJ=IH,IJIH,∴四邊形HIJK為正方形.

3N的坐標為(2,-1),(,),(,),(,).

要求O、C、M、N四點構(gòu)成菱形,OC為唯一已知線段,對OC的角色進行討論:OC為對角線或OC為邊.

OC為對角線時,此時MN也為對角線,MN垂直平分OC,則MOC中垂線與直線EC交點,可得M12,1)由對稱可得此時N12,-1).

②當OC為邊時,考慮M的位置,MO相鄰或者與C相鄰.

Ⅰ.若MC相鄰,CM=CO=4,此時以C為圓心,OC長為半徑作圓與直線EC交點即為M2M3,過M2M2POC于點P,∴OEPM2,∴OECPM2C

OE=2,OC=4,∴EC=

OECPM2C,∴,∴,解得:PM2=,PC=,∴OP=OCPC=

N2M2OC,N2M2=OC,∴N2,),易證N3N2關(guān)于原點對稱,∴N3).

Ⅱ.若MO相鄰,OM=OC=4此時以O為圓心,OC長為半徑作圓與直線EC交點即為M4

設直線ECy=kx+b,∴,解得:,∴直線EC

M4x,),則,解得:,,∴M4,),∴N4,).

綜上所述:N的坐標為(2,-1),(,),(,),(,).

練習冊系列答案
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【題目】詩詞是我國古代文化中的瑰寶,某市教育主管部門為了解本市初中生對詩詞的學習情況,舉辦了一次“中華詩詞”背誦大賽,隨機抽取了部分同學的成績(x為整數(shù),總分100),繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.

組別

成績分組(單位:分)

頻數(shù)

A

50x60

40

B

60x70

a

C

70x80

90

D

80x90

b

E

90x100

100

合計

c

根據(jù)以上信息解答下列問題:

(1)統(tǒng)計表中a   b   ,c   

(2)扇形統(tǒng)計圖中,m的值為   ,“E”所對應的圓心角的度數(shù)是    ();

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(3) 如圖2,設F(-1,-4),FG⊥y軸于G,在線段OG上是否存在點P,使 ∠OBP=∠FPG? 若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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1)當為何值時,

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