Question

【題目】拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)，B(m，0)，與y軸交于C.

（1）若m＝－3，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；

（2）如圖1，在(1)的條件下，設拋物線的對稱軸交x軸于D，在拋物線對稱軸左側上有　一點E，使S△ACE＝S△ACD，求E點的坐標；

(3) 如圖2，設F(－1，－4)，FG⊥y軸于G，在線段OG上是否存在點P，使 ∠OBP＝∠FPG?　若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）點E坐標為（-2，-3）；（3）m的取值范圍是：-4≤m≤4，且m≠0.

【解析】

(1)利用待定系數法求二次函數的解析式，并配方求對稱軸；

(2)如圖1，設E（n，n2+2n-3），先根據已知條件求S△ACE=3，根據不規(guī)則三角形面積等于鉛直高度與水平寬度的積列式可求得n的值，并根據在對稱軸左側的拋物線上有一點E，則點E的橫坐標小于-1，對n的值進行取舍，得到E的坐標；

(3) 設P(0，y)，根據相似三角形對應邊成比例，列出相應的比例關系式，由y的取值范圍判斷m的取值范圍，注意分兩種情況討論： ①當B在原點的左側時，②當B在原點的右側時.

（1）當m=-3,B(-3,0),

把A（1,0），B(-3,0)代入y＝x2＋bx＋c，聯立方程組求得，b=2,c=-3,

拋物線的解析式為y=x2+2x-3，

對稱軸x=-1；

（2）如圖，設E(n，n2+2n-3)，由題意得：AD=1+1=2，OC=3，S△ACE=S△ACD=ADOC=3，

設直線AE的解析式為y=kx+b，把A(1，0)和E(n，n2+2n-3)代入，得

解得

∴直線AE的解析式為：y=(n+3)x-n-3，

∴F(0，-n-3).

∵C(0，-3)，

∴FC=-n-3-(-3)=-n，

∴S△ACE=FC(1-n)=3，

-n(1-n)=6，

n2-n-6=0，

∴n1=-2，n2=3(舍去)，

∴E(-2，-3).

(3)設點P（0，y）

①m＜0時，如圖所示，

易證△POB～△FPG，得

∴

∴m=y2+4y=(y+2)2-4

∵-4＜y＜0，∴-4≤m＜0

②當m＞0時，如圖所示，

易證△POB～△FPG，得

∴

∴m= -y2 -4y= -(y+2)2+4

∵-4＜y＜0 ∴0＜m≤4

綜上所述，m的取值范圍是：-4≤m≤4，且m≠0.

故答案為：（1）y=x2+2x-3；（2）點E坐標為（-2，-3）；（3）m的取值范圍是：-4≤m≤4，且m≠0.