【題目】如圖1,正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB,AE(AB<AE)在一條直線上,正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α.在旋轉(zhuǎn)過程中,兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合,其它頂點(diǎn)均不重合,連接BE,DG.

(1)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí),求證:BE=DG;

(2)如圖3,如果α=45°,AB=2,AE=3
①求BE的長;②求點(diǎn)A到BE的距離;

(3)當(dāng)點(diǎn)C落在直線BE上時(shí),連接FC,直接寫出∠FCD的度數(shù).

【答案】
(1)

解:∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠BAE+∠EAD=90°,

又∵四邊形AEFG是正方形,

∴AE=AG,∠EAD+∠DAG=90°,

∴∠BAE=∠DAG.

在△ABE與△ADG中,

,

∴△ABE≌△ADG(SAS),

∴BE=DG


(2)

解:①如圖1,作BN⊥AE于點(diǎn)N,

∵∠BAN=45°,AB=2,

∴AN=BN=

在△BEN中,

∵BN= ,NE=3

∴BE= ;

②如圖1,作AM⊥BE于點(diǎn)M,則SABE= AEBN= ×3 × =

又∵SABE= BEAM= × ×AM= ,

∴AM= ,即點(diǎn)A到BE的距離


(3)

解:解:①如圖2,連接AC,AF,CF,

∵四邊形ABCD與AEFG是正方形,

∴∠ACD=∠AFE=45°,

∵∠DCE=90°

∴點(diǎn)A,C,E,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,

∵∠AEF是直角,

∴AF是直徑,

∴∠ACF=90°,

∵∠ACD=45°,

∴∠FCD=45°

②如圖3,連接AC,AF,F(xiàn)G,CG

由(1)知∵△ABE≌△ADG,

∴∠ABE=∠ADG=90°,

∴DG和CG在同一條直線上,

∴∠AGD=∠AGC=∠BAG,

∵四邊形ABCD與AEFG是正方形,

∴∠BAC=∠FAG=45°,

∴∠BAG+∠GAC=45°,∠BAG+∠BAF=45°,

∴∠AGD+∠GAC=45°,

∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°,

∴點(diǎn)A,C,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,

∵∠AGF是直角,

∴AF是直徑,

∴∠ACF=90°,

∴∠FCD=90°+45°=135°

綜上所述,∠FCD的度數(shù)為45°或135°.


【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,再根據(jù)余角的性質(zhì),可得∠BAE=∠DAG,然后利用“SAS”證明△ABE≌△ADG,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可;(2)①作BN⊥AE于點(diǎn)N,根據(jù)勾股定理得出AN=BN= ,在△BEN中,根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論;②作AM⊥BE于點(diǎn)M,根據(jù)SABE= AEBN= BEAM=3即可得出結(jié)論;(3)分兩種情況:①E在BC的右邊,連接AC,AF,CF,利用點(diǎn)A,C,E,F(xiàn)四點(diǎn)共圓求解,②E在BC的左邊,連接AC,AF,F(xiàn)G,CG,首先確定DG和CG在同一條直線上,再利用點(diǎn)A,C,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓求解.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),需要了解①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,菱形紙片ABCD中,∠A=60°,將紙片折疊,點(diǎn)A、D分別落在A′、D′處,且A′D′經(jīng)過B,EF為折痕,當(dāng)D′F⊥CD時(shí), 的值為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】平面上,矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放,分別延長DA和QP交于點(diǎn)O,且∠DOQ=60°,OQ=0D=3,OP=2,OA=AB=1.讓線段OD及矩形ABCD位置固定,將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°≤α≤60°).
發(fā)現(xiàn):

(1)當(dāng)α=0°,即初始位置時(shí),點(diǎn)P直線AB上.(填“在”或“不在”)求當(dāng)α是多少時(shí),OQ經(jīng)過點(diǎn)B.
(2)在OQ旋轉(zhuǎn)過程中,簡要說明α是多少時(shí),點(diǎn)P,A間的距離最小?并指出這個(gè)最小值;
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí),求a及S陰影
拓展:
如圖3,當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M,與BA邊交于點(diǎn)N時(shí),設(shè)BM=x(x>0),用含x的代數(shù)式表示BN的長,并求x的取值范圍.
探究:當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí),求sinα的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一只不透明的袋子中裝有4個(gè)質(zhì)地、大小均相同的小球,這些小球分別標(biāo)有數(shù)字3,4,5,x.甲、乙兩人每次同時(shí)從袋中各隨機(jī)摸出1個(gè)球,并計(jì)算摸出的這2個(gè)小球上數(shù)字之和,記錄后都將小球放回袋中攪勻,進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn).實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表:

摸球總次數(shù)

10

20

30

60

90

120

180

240

330

450

“和為8”出現(xiàn)的頻數(shù)

2

10

13

24

30

37

58

82

110

150

“和為8”出現(xiàn)的頻率

0.20

0.50

0.43

0.40

0.33

0.31

0.32

0.34

0.33

0.33

解答下列問題:
(1)如果實(shí)驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去,根據(jù)上表數(shù)據(jù),出現(xiàn)“和為8”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近.估計(jì)出現(xiàn)“和為8”的概率是;
(2)當(dāng)x=7時(shí),請用列表法或樹狀圖法計(jì)算“和為8”的概率;并判斷x=7是否可能.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn),AE=CF,連接EF,BF,EF與對角線AC交于O點(diǎn),且BE=BF,∠BEF=2∠BAC。

1)求證:OE=OF

2)若BC=,求AB的長。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了綠化校園,我校決定修建一塊長方形草坪,長米,寬米,并在草坪上修建如圖所示的十字路,設(shè)小路的寬為米.

用含的式子分別表示出草坪的面積、小路的面積;

寫出中多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù),并說明是幾次幾項(xiàng)式?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥ABE,若AC=6,BC=8,CD=3

1)求DE的長;

2)求△ADB的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,點(diǎn)OAC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MNBC,設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.

(1)求證:EO=FO;

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),直線DE是拋物線的對稱軸,且與x軸交于點(diǎn)E,CD⊥DE于D,現(xiàn)有下列結(jié)論: ①a<0,②b<0,③b2﹣4ac>0,④AE+CD=4
下列選項(xiàng)中選出的結(jié)論完全正確的是(

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案