【題目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點(diǎn)F為BE中點(diǎn),連接DF,CF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,請直接寫出此時線段DF,CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系(不用證明);
(2)如圖2,在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°時,請你判斷此時(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷;
(3)如圖3,在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°時,若AD=1,AC= ,求此時線段CF的長(直接寫出結(jié)果).
【答案】
(1)解:∵∠ACB=∠ADE=90°,點(diǎn)F為BE中點(diǎn),
∴DF= BE,CF= BE,
∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°
∵BF=DF,
∴∠DBF=∠BDF,
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF,
∴∠DFE=2∠DBF,
同理得:∠CFE=2∠CBF,
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°,
∴DF=CF,且DF⊥CF
(2)解:(1)中的結(jié)論仍然成立.
證明:如圖,此時點(diǎn)D落在AC上,延長DF交BC于點(diǎn)G.
∵∠ADE=∠ACB=90°,
∴DE∥BC.
∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.
∵F為BE中點(diǎn),
∴EF=BF.
∴△DEF≌△GBF.
∴DE=GB,DF=GF.
∵AD=DE,
∴AD=GB,
∵AC=BC,
∴AC﹣AD=BC﹣GB,
∴DC=GC.
∵∠ACB=90°,
∴△DCG是等腰直角三角形,
∵DF=GF.
∴DF=CF,DF⊥CF
(3)解:延長DF交BA于點(diǎn)H,
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴AC=BC,AD=DE.
∴∠AED=∠ABC=45°,
∵由旋轉(zhuǎn)可以得出,∠CAE=∠BAD=90°,
∵AE∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,
∴∠DEF=∠HBF.
∵F是BE的中點(diǎn),
∴EF=BF,
∴△DEF≌△HBF,
∴ED=HB,
∵AC= ,在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB=4,
∵AD=1,
∴ED=BH=1,
∴AH=3,在Rt△HAD中由勾股定理,得
DH= ,
∴DF= ,
∴CF=
∴線段CF的長為 .
【解析】(1)根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF,根據(jù)∠DFE=2∠DCF,∠BFE=2∠BCF,得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°,DF⊥BF.(2)延長DF交BC于點(diǎn)G,先證明△DEF≌△GCF,得到DE=CG,DF=FG,根據(jù)AD=DE,AB=BC,得到BD=BG又因?yàn)椤螦BC=90°,所以DF=CF且DF⊥BF.(3)延長DF交BA于點(diǎn)H,先證明△DEF≌△HBF,得到DE=BH,DF=FH,根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以△ADH為直角三角形,由△ABC和△ADE是等腰直角三角形,AC= ,可以求出AB的值,進(jìn)而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF,求出得CF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)B.
(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn),求直線BC和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點(diǎn),求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國務(wù)院辦公廳2015年3月16日發(fā)布了《中國足球改革的總體方案》,這是中國足球歷史上的重大改革.為了進(jìn)一步普及足球知識,傳播足球文化,我市舉行了“足球進(jìn)校園”知識競賽活動,為了解足球知識的普及情況,隨機(jī)抽取了部分獲獎情況進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
獲獎等次 | 頻數(shù) | 頻率 |
一等獎 | 10 | 0.05 |
二等獎 | 20 | 0.10 |
三等獎 | 30 | b |
優(yōu)勝獎 | a | 0.30 |
鼓勵獎 | 80 | 0.40 |
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)a= , b= , 且補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)若用扇形統(tǒng)計(jì)圖來描述獲獎分布情況,問獲得優(yōu)勝獎對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是多少?
(3)在這次競賽中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎,若從這四位同學(xué)中隨機(jī)選取兩位同學(xué)代表我市參加上一級競賽,請用樹狀圖或列表的方法,計(jì)算恰好選中甲、乙二人的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=5,BD=13,Rt△EFG的直角邊GE在CB的延長線上,E點(diǎn)與矩的B點(diǎn)重,∠FGE=90°,F(xiàn)G=3.將矩形ABCD固定,把Rt△EFG沿著射線BC方向運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)F恰好經(jīng)過BD時,將△EFG繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)α°(0°<α°<90°),記旋轉(zhuǎn)中的△EFG為△E′F′G′,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)直線E′G′與直線BC交于N,與直線BD交于M點(diǎn),當(dāng)△BMN為以MN為底邊的等腰三角形時,F(xiàn)M的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A在線段BG上,四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形,面積分別是10和19,則△CDE的面積為_____________.
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【題目】如圖,拋物線y= x2﹣2x﹣6 與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為頂點(diǎn),點(diǎn)E在拋物線上,且橫坐標(biāo)為4 ,AE與y軸交F.
(1)求拋物線的頂點(diǎn)D和F的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M,N是拋物線對稱軸上兩點(diǎn),且M(2 ,a),N(2 ,a+ ),是否存在a使F,C,M,N四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最小,若存在,求出這個周長最小值,并求出a的值;
(3)連接BC交對稱軸于點(diǎn)P,點(diǎn)Q是線段BD上的一個動點(diǎn),自點(diǎn)D以2 個單位每秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動,連接PQ,將△DPQ沿PQ翻折,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′,設(shè)Q點(diǎn)的運(yùn)動時間為t(0≤t≤ )秒,求使得△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的 時對應(yīng)的t值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上,AC⊥x軸,BD⊥x軸,垂足C,D分別在x軸的正、負(fù)半軸上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中點(diǎn),且△BCE的面積是△ADE的面積的2倍,則k的值是
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